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一、证明题

1． 设S 为非空数集，定义

⑴

【答案】(1) 设又有对于任意正数

界，即

(2) 同理可证.

2． 按

(1) (2) (3)

【答案】(1)

对任意

(2) 因为

由

所以

对任意

由

得

取

则当故

(3) 当n 为偶数时，

当n 为奇数时，

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证明：

则于是

，

即

故

是的一个下界.

故

是

的下确

(2)

则任意存在

使得

定义证明：

则当时

.

故

时，

对任意

取

则当

时，

故

二、解答题

3． 计算下列定积分：

【答案】（1）

（2）令

则

则

（3）令

则

则

令

则

则

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（10）令

（11

）令

则

从而有

4． 求极限

【答案】因为所以

N 为正整数，

从而

.

5． 求两椭圆

所围公共部分的面积。

解得两曲线在第一象限内的交点坐标为I

共部分的面积为

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则，从而

【答案】如图所示，这两个椭圆是全等的，故所求面积是阴影部分面积的8倍. 由方程组

于是，所围公