2017年西北民族大学数学与计算机科学学院726数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设函数f 在
【答案】由是区间
上满足方程
知，对任给的因为
再由的任意性知，
2． 证明：
【答案】减，且当
有时有
所以当
在内连续.
证明：
存在
使得
时在
在
内连续.
，
关于x 在上一致收敛于0.
内闭一内单调递
所以
且
存在正数M ，使得当所以存在正整数N ，使得
时
由
设得
有
中的任一数，由于
证明，
由的任意性知，对所有的
由狄利克雷判别法知，
致收敛，又被积函数连续，于是F (y ) 在
3．
设
为区间上的连续函数，
且
【答案】因为
得
又因为
.
为区间
上一致收敛，即F (y ) 在
上的连续函数，所以存在最大值与最小值，即存在M , m ，使
即
根据闭区间上连续函数的介值定理，存在
4． 设
证明函数
使得
在D 上不可积.
【答案】对D 上任意分割
，若在每个取点
若在每个
取点
为非有理点，则
因此
的极限不存
使
皆为有理数，则
在(当时) . 即在D 上不可积.
5． 设函数在上连续，在内可导，且
证明：存在
使得
【答案】因为
因而取存在
使得
6． 证明
：
【答案】因为
所以
则函数F 和G 在
上满足柯西中值定理的条件. 于是
所以
二、解答题
7． 如图所示，直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截，试求截得楔形体的体积。
图
【答案】椭圆柱面的方程为性质有
解得
于是
故所求体积
8． 已知函数y=f（x ）的图像，试作下列各函数的图像：
（1）⑷（7）
【答案】（1）关于x 轴作（2）关于y 轴作（3）关于原点作（4）对（5）对（6）对（7）从以
（2） （5）
的图像的对称图像，就得到
的图像的对称图像，就得到的图像的对称图像，就得到
的图像.
的图像. 的图像.
（3） （6）
设垂直于X 轴的截面面积为
则由相似三角形的
的图像，x 轴以上的部分保持不变，x 轴以下的部分对称地翻转到x 轴以上. 的图像，原函数值为正的地方变为y=l, 原函数值为0的地方仍然为0, 原函的图像，x 轴以上的部分保持不变，x 轴以下的部分变0.
的图像出发，把x 轴以上的部分变为0, x 轴以下的部分翻转到x 轴上方.
为例，本题的各种情形如图1~4所示
.
数值为负的地方变为y=-1.
图1 图2