2018年兰州交通大学环境与市政工程学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
设三维列向量组
（Ⅱ）
当
【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
线性表示.
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
使得
线性无关；
向量组
则
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
不全为0
,
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
线性无关，
列向量组
线性无关.
和向量组
线性表示；
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
时，
求出所有非零列向量
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
于是，方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此，
所有非零列向量
2．
已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵
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所有非零解
_
t 为任
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
（Ⅱ
）求【答案】
的基础解系.
当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。 当a=-l时，
则当g=0时，
则值的特征向量.
由
知
线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
（Ⅱ
）
3．
设矩阵
求一个秩为2的方阵B. 使
知
的基础解系，
即为
的特征向量
【答案】
令
即
取.
进而解得的另一解为则有
.
的基础解系为：
方阵B 满足题意.
令
4． 设线性方程
m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.
作初等行变换，如下
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（1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解.
此时原方程组与同解，
解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
故原方程组的通解为
（3
）当
（4
）当
即
时
此时方程组无解.
二、计算题
5． 求下列齐次线性方程组的基础解系：
（1
）
（2
）（3
）【答案】⑴
可知原方程的同解方程为
分别取，
得基础解系
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