2018年兰州交通大学数理学院603数学基础与计算之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知
对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是二重根，
故
于是
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
是矩阵
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使
为
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
且有 2．
已知
且
.
求
故
【答案】
由题意知
又
又
知
即 3．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
得
故
知
又由
得
因
与
可知综上可知
，
4．
已知三元二次型
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是
得的基础解系.
那么
其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足
其中
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； （Ⅱ）若A+kE:五正定，求k 的取值. 【答案】（Ⅰ）因为A 各行元素之和均为0,
即值
，
由征向量.
因为
是
的特征向量.
是
1的线性无关的特
，由此可知
是A 的特征
可知-1是A 的特征值
，不正交，将其正交化有
再单位化，可得
那么令
则有
（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征值都大于0,
得
二、计算题
5．
由
，
，试证
所生成的向量空间记作
线性无关
，
也线性无关. 又因
于是
则知向量组
与
等价，
从而
即A 与单位矩阵E 合同. 就有
即矩阵A 的二次型是正定的，从而由定义知.A 是正定矩阵. 必要性：因A 是对称阵，必存在正交阵Q , 使
其中
2, …, n
记对角阵从而
显然U 可逆，
并且由上式知
由，
所生成的向量空间记作
【答案】因对应分量不成比例，
故
6． 证明对称阵A 为正定的充要条件是：存在可逆阵U ，使
【答案】充分性：若存在可逆阵U ,
使处的值
任取
并且A 的二次型在该
是A 的全部特征值. 由A 为正定矩阵，
故
记