2018年辽宁省培养单位沈阳应用生态研究所603高等数学(丙)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 设二次
型
（Ⅰ）用正交变换化二次型（Ⅱ
）求【答案】
（Ⅰ）由
知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.
为标准形，并写出所用正交变换；
矩阵A 满足AB=0, 其
中
记
值（至少是二重）
，
根据
值是0, 0, 6.
设
有
对
正交化，
令的特征向量为
有
则是
的线性无关的特征向量.
由此可知
，是矩阵A 的特征
故知矩阵A
有特征值因此，矩阵A 的特征
那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，
则
解出
再对，单位化，得
那么经坐标变换
即
二次型化为标准形（Ⅱ）因为
又
有
所以由
进而
得
于是
2．
设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
记
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A
的秩
故f
在正交变换下的标准形为 3．
已知
且
.
求
又
又
得
故
知
故
【答案】
由题意知
，由于
所以
为矩阵对应特征值所以
为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
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知
即
4．
已知
与
相似. 试求a
, b ,
c 及可逆矩阵
P ，
使
【答案】由于故B
的特
征值为
从而
B 可以对角化为
分别求令
所对应的特征向量，得
有即a=5.
由
得A
，B 有
相同
特征值
，
故
再由得b=-2, c=2，于是
分别求A 的对应于特征值1，2, -1的特征向量得：令记
有
. 因此
即