2018年辽宁省培养单位沈阳应用生态研究所603高等数学(丙)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 已知实二次
型
的矩阵A ，满
足
且
其
中
（Ⅰ）用正交变换xzPy 化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形； （Ⅱ
）求出二次型【答案】（Ⅰ）
由由
知，B
的每一列
满足
的具体表达式.
知矩阵A
有特征值即
是属于A 的特征值
.
则
与—
j 正交，于是有
令
的线性无关特征向
显然B 的第1, 2列线性无关
，量，从而知A
有二重特征值
设
对应的特征向量为
解得
将
正交化得：
再将正交向量组
单位化得正交单位向量组：
令
则由正交变换
化二次型为标准形
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（Ⅱ
）由于故
故二次型
2． 已知
且
. 求
又又
知
即
3．
设n 维列
向量
【答案】记
得
故
【答案】由题意知
故
知
线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得，由
线性无关，得
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显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而组的基础解系为数.
4．
已知
通解是
.
,
证明
【答案】
由解的结构知
有无穷多解
. 易知特解为
从而②的通解，即①的通解为
对应齐次方程
A 为任意常
是4
阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量.
若齐次方程组Ax=0
的的基础解系
.
又由
得
因与
可知综上可知，
有
即故都是
的解
.
由
线性无关.
由
是
得的基础解系
.
那么
二、计算题
5
． 设
问
是不是向量空间? 为什么？
是向量空间, 理由是
【答案】（1）①非空：
②对于向量的加法和数乘封闭. 事实上，
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