2018年兰州交通大学数理学院603数学基础与计算之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
设矩阵
求一个秩为2的方阵B. 使
【答案】
令
即
取.
进而解得的另一解为则有
.
的基础解系为：
方阵B 满足题意.
令 2．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
又由
得
因
与
可知综上可知
，
3．
设的所有矩阵.
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是
得的基础解系.
那么
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
得到方程组Ax=0同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4×3
矩阵，
设对矩阵（
AE ）进行初等行变换如
下：
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
即满足AB=£
；的所有矩阵为其中为任意常数.
4． 已知二次型的秩为2.
求实数a 的值；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型. 【答案】⑴由
可得，
则矩阵
解得
B 矩阵的特征值为
：当
时
，解
得对应的特征向量为
当时，解得对应的特征向量为
对于解得对应的特征向量为：
将单位转化为
：
. 令X=Qy, 则
二、计算题
5． 设A
，B 都是n 阶对称阵
，证明AB 是对称阵的充要条件是AB=BA.
【答案】因
6． 计算下列各行列式：
（1）
故AB 为对称阵
（2）
（3）
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