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一、证明题

1． 设

在(0, 0) 点附近存在，且在(0, 0) 点可微，证明：

【答案】因为

在(0, 0) 点可微，所以

都存在.

下证：两个混合偏导数相等. 由于

因此

其中

(2)

和

其中

是

时的无穷小量，

是

时的无穷小量.

将式(2) 、式(3) 两式代入式(1) 可得

令

2． 求证：

(1) (2)

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注意到在(0, 0) 点可微，我们有

则故有

【答案】(1) 已知序列严格递増，且

又设

再根据

显资

项的平均值不等式，有

联合

与

式即得

(2) 记

由第(1) 小题结论，有

再由第(1) 小题结论，有

即有下界，从而极限

存在.

3． 设函数f 在点a 处具有连续的二阶导数. 证明：

【答案】两次应用洛必达法则得

4． 设与都在

上可积，证明

在也可积。又

且可积函数的和、差、数乘仍可积，所以

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上也都可积。

可积知.

在

上可积，从而

在

上

【答案】由

在上均可积。

5． 设则必是则存在一点

使

在区间Ⅰ上连续，并且在Ⅰ上仅有惟一的极值点在Ⅰ上的最大(小) 值点。

证明：若是的极大(小) 值点，

在I 上的最大值点，

在

【答案】用反证法，只对是f 的极大值点的情形进行证明. 假设不是

使得取

(

不妨设则当

上存在最小值m 。

因为

而是

时，

) 。由连续函数的最大最小值定理知

，

的一个极大值点，所以存在

即是

的一个极小值

点，这与在I 上仅有惟一极值点矛盾. 故原命题成立。

6． 若是[a, b]上的连续函数列，且数列d][a, b]，使

在[c, d]上一致有界.

在任意闭区间

【答案】用反证法. 假设

都有界. 试证明：存在闭区问[c，

上都非一致有界，即

使

由连续

使

有

且

使

因为函数的保号性，

又因为

如此下去，可得一个闭区间列

满足

在

由连续函数的保号性，

在[a, b]上非一致有界，所以对k=l,

使得

有

且

使得

上非一致有界，所以对k=2，

且

由闭区间套定理，

无界，则数列

有

其中使

无界. 这与已知条件矛盾.

即数列

的某一个子列

二、解答题

7． 设

证明

在D 上的二重积分不存在而两个累次积分存在.

恒为零. 若y 为有理数，则函数仅有有限个异于0的值，

因此

试求

【答案】因为在正方形的任何部分内，函数f 的振幅等于1. 所以二重积分不存在. 对固定的y , 若y 为无理数，

则数

所以累次积分存在且

同理，累次积分 8． 设

【答案】对方程组

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