2018年暨南大学经济学院810高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 把向量表成向量
的线性组合：
【答案】
设
按各分量写出等式，得方程组
对它求解，得
故
（2）设
按各分量写出等式，得方程组
对它求解得
2． 求下列线性空间的维数与一组基:
（1）数域P 上的空间（2）
;
故
中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的数域P 上的空间;
（3）实数域上由矩阵A 的全体实系数多项式组成的空间，其中
【答案】⑴令
即的元素除去第i 行，第i 列处为1外，其余全为零. :
矩阵
. 又设
于是任意
则故性组合，故
（2
）令集合，则
，所有是是
的一组基，且
是维的.
是
中上三角阵的集合，
是
中对称矩阵的
中反对称矩阵的集合
,
即
是线性无关的, 又任意
是
的线
,
,
是
维的
.
（3）记
由于
，故
及
对任意K 有
对E ,
任
的线性组合. 现设
. 即有
其系数行列式为范德蒙德行列式
的基，是是
的基，
是
维的.
维的.
是的基，是
意
，
则
,
令
. 故V 中任一元是
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故上述方程组只有零解，
即
是三维的.
3． 讨论
. 于是E ,
是线性无关的，因而是V 的一组基V
取何值时，线性方程组
无解，有唯一解或有无穷多解，并求无穷多解时的通解. 【答案】
（1）当（2）当（3
）
时，
时，时，
故方程组有唯一解. 故方程组无解•
方程组有无穷多解，一般解为
其中x 3, x 4为自由未知量. 取特解为导出组的基础解系为故通解为
4． 计算
为任意数.
【答案】（1）当时，用第1行的（-1）倍分别加到其它各行得