2018年暨南大学信息科学技术学院810高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 求多项式
的根，其中
【答案】各列都加到第一列，提取公因子，得
第一列乘以加到第列，得
故 2． 设
是线性空间V 上的双线性函数, 试将
表示成一个对称双线性函数与一个反
对称双线性函数之和, 并证明表示法唯一.
【答案】令
直接验证可知g 是对称双线性函数, h 是反对称双线性函数, 且
下证唯一性. 若
（1）
这里
为对称双线性函数,
为反对称双线性函数. 于是
的根是
，
（2）
（1）+（2）得
代入式（1）, 得
3． 设2, 1, —1为三阶方阵A 的特征值, 且对应的特征向量分别为以下三个向量, 求
A.
【答案】因为A 是三阶方阵且三个特征值互异, 故其所对应的 三个特征向量线性无关. 现以其作列得可逆方阵
且
并且A 可对角化, 即有
从而
4． 设
的两个子空间为
求【答案】
的维数与一组基.
得方程组
解之, 取基础解系为由故
定义式易知
其基可以取为
故是的基,
由维数公式, 得
5． 试就实数域和复数域两种情况，求
【答案】令
，于是
的标准分解式•
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（1）
其中
（1）由式（
1）知
在复数域中的标准分解式为
（2）在实数域中注意到
当n 为奇数时其标准分解式为
6． 设W 是欧氏空间V 的一个有限维子空间. 证明:
①对V 中任意向量在
中都存在唯一的向量使
（即
②若
【答案】
则
于是设若于是得②因为
故
也有
从而比又因为
则
故
于是由勾股定理得
但是
故
从而
故
为其一标准正交
是臼在W 上的正射影）;
，于是当n 为偶数时其标准
分解式为
是子空间显然（或由定理）. 又因为W 是有限维, 设
基
, 则对V
中任意向量
二、证明题
7． 证明:若子空间的和
【答案】设W 中有向量且表法唯一, 又设
表为
则得
不是直和, 则W 的每个向量的表示法都不唯一.
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