2018年济南大学数学科学学院881高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 为满足
的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设设
由于性相关. 又由方法2:设考虑到
即
知
，
由已知及以上证明知B' 的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于
所以有
所以有
可推得AB 的第一列
并记A 各列依次为
从而
线
由于
不妨
故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关.
2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵.
记
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题设知，所以
3． 设
则3条直线
①
（其中
）交于一点的充要条件是（ ）
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则A=（ ）.
A. B. C. 秩D.
线性相关 线性无关
线性相关，
线性无关 则方程组①可改写为
②
则3条直线交于一点
. ，可知
线性无关，由秩
可知1
线性相关，即
可由
线性表出，
线性表出.
线性相关，故选D.
是（ ）二次型.
方程组①有惟一解
【答案】D 【解析】令其中
秩由秩从而可由
4． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2设二次型矩阵A , 则
是不定二次型，故选B.
方程组②有惟一解
由于因此否定A , C, A中有二阶主子式
从而否定D , 故选B.
5． 设行列式
为A.1
，则方程，
的根的个数为（ ）
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C.3 D.4 【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
有两个根
二、分析计算题
6． 若以
表示实系数多项式, 试证:
是实数域上的一个线性空间, 并求出它的一组基. 【答案】显然有个子空间.
取W 中元素一方面, 如果
有另一方面,
即
有
即因此,
7． 计算n 级行列式
可由
线性表出. 为W 的一组基.
线性无关.
或
因此W 构成
的一
【答案】令
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