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一、证明题

1． 证明级数

【答案】因为所以当

时, 数列

条件收敛.

. 所以该级数为交错级数. 令

单调递减, 且

收敛. 因为

而 2． 设

并求J （2m , 2n ）. 【答案】

移项解得

. 同理

移项解得

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. 则

由莱布尼茨判别法知级数

发散, 所以发散. 故原级数为条件收敛. （m , n 为正整数）, 证明:

9

由上述结论可得

而

故

3． 设

当当即

. 求证:

时,

时, 结果显然成立.

时, 利用一个显然成立的不等式:

可导出:

有

因此, 取因此,

. 于是当

在

设时, 有

上一致连续.

, 令

, 则

。

在区间

上一致连续. 上显然一致连续.

【答案】当

二、解答题

4． 设f , g 在

上可积, a n , b n 和

分别表示f 和g 的傅里叶系数, 则

【答案】写出f+g和f －g 的巴塞伐尔等式:

将上两式相减可得结论.

5． 求由分的区域, 则

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所围的立体的体积.

上, 用

表示位于第一卦限部

yOz 平面对称. 在上半空间【答案】显见立体关于xOy 平面、

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作广义球坐标变换:

故

6． 设为正实数,

确定使A

的范围（要叙述过程）.

【答案】当当由

上有界可知

, 尽管

在

不一致连续. 当

时, 取

,

时,

在

事实上, 当

时, X 显然在时, 因为

上一致连续.

上一致连续即可

.

上不一致连续.

在[0, 1]上一致连续, 所以只要证明它在在

上一致连续的

的范围以及使在

不一致连续的

, 但是

故在上不一致连续.

问此函数在

上的傅里叶级数具有什么特

7． 设函数f （x ）满足条件:性？

【答案】因为n=l, 2, …时

第

4

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