2017年南京理工大学理学院概率统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设随机变量
【答案】因为正态分布所以
由此得X 的3阶及4阶中心矩为
2． （1）某种岩石中的一种元素的含量在25个样本中为：
有人认为该样本来自对数正态分布总体，请设法用w 检验方法作检验（【答案】（1）首先应对数据进行对数变换. 记在下表中，
由此可算得
表
）.
）.
（2）对（1）题的数据，试用EP 检验方法检验这些数据是否来自正态总体（取
, 试用特征函数的方法求X 的3阶及4阶中心矩.
的特征函数为
则25个y 的观测值可算出，我们把它列
从上表中可以计算出W 的值：
当n=25时，查表知故在显著性水平
拒绝域为
由于样本观测值没有落入拒绝域内，
上不拒绝原假设，即可以认为样本来自对数正态分布.
（2）该问题可按计算TEP 的框图用任一种软件编程计算，这里用SAS
软件编程算得
若取显著性水平
在附表11中通过线性插值得到n=25时的0.95
分位数约为
计算得到的
0.05下接受这些数据是来自正态总体的.
3． 设总体密度函数为
（1）求g （θ）=1/θ的最大似然估计； （2）求g （θ）的有效估计. 【答案】（1）似然函数为
对数似然函数为
将对数似然函数求导并令其为0, 得似然方程
解之得
（2）令Y=-InX, 则
，从而有因此Y 〜Exp （θ）=Ga（1，θ）
于是
为求有效估计，需求出θ的费希尔信息量，注意到，lnp （x ，θ）=Inθ+（θ-1）lnx ,
于是
而
于是g （θ）的任一无偏估计的C-R 下界
为是g （θ）的无偏估计，且方差达到了C-R 下界，所以
的有效估计.
4． 对泊松分布P （θ），
（1）求
，使g （θ）的费希尔信息量与θ无关. （2）找一个函数g （•）【答案】⑴（2）所以，
小于该临界值，因此在显著性水平
是其样本.
从
而是g （θ）
令
（其中为任意常数）.
，（其中c 为大于0的任意常数）则
5． 设随机变量X 服从参数为X 的泊松分布，试求X 的前四阶原点矩、中心矩、偏度与峰度.
【答案】分几步进行.
（1）先求k 阶原点矩的递推公式. 按定义
显然
而当
时有
（2）由此递推公式可导出前四阶原点矩
.
（3）再计算前四阶中心矩；
（4）最后计算偏度卢；与峰度卢。
所以泊松分布是正偏分布，愈小偏度愈大
.
所以泊松分布比标准正态分布更尖峭一些，A 愈小分布愈尖峭.
6． 设A ，B ，C 为三事件，试表示下列事件：
（1）A ，B ，C 都发生或都不发生： （2）A ，B ，C 中不多于一个发生； （3）A ，B ，C 中不多于两个发生； （4）A ，B ，C 中至少有两个发生. 【答案】⑴（2）（3）（4）