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一、证明题

1． 证明:若函数f 在区间上处处连续, 且为一一映射, 则f 在上严格单调.

【答案】用反证法. 先证明f 在上是单调的. 若不然,

则至少存在三个点

注意到f 在上连续, 对f 分别在区间

, 使得

再证明f 在上是严格单调的. 不妨设f

在上是单调递增的, 则对任意的, 故必有

2． 设

有

. 注意到f 在上是一一对应

, 这表明f 在上是严格单调的.

, 证明

【答案】方法一 令

变换的雅可比行列式为

所以

方法二 因

对内层积分作定积分变换

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满足和

但

, 而

而

. 由和

于f 是一一映射, 所以上述不等式为严格的, 即

上应用介值定理, 则存在

这与f 是一一映射相矛盾, 所以f 是单调的.

, 则

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3． 证明:若

为

上的连续函数, 且对一切

对任意.

上连续, 所以

在

有

上存在最大值M.

有

=0.

则f （x

）

其中

【答案】显然

而

在

对于上面的, 有

其中

依次进行下去, 可知存在当又

4． 证明:

（1）若F 1, F 2为闭集, 则（2）若E 1, E 2为开集, 则（3）若F 为闭集, E 为开集, 则【答案】

（1）设

P 为

于是也有

为闭集

.

故同理可证（2）设设使得

即为开集, 则有'

且为闭集

. 也为闭集.

有由于

或从而有使得

因此, 存在点B 的邻域所以

为开集.

第 3 页

，共

36 页

使得

所以

有

时, 有连续, 所以

对一切

与与

都为闭集； 都为开集； 为闭集

为开集.

的聚点, 存在一个各点互不相同的收敛于P 的点列

中的无限多项,

不妨设

从而P 为F 1的聚点.

因而F 1和F 2至少有一个集合含有

不妨设 , 因此

为开集.

则存在点A 的某邻域U

（A ）使得

也存在点B 的某邻域

其中

为开集, 则存在点B 的某邻

使得

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（3）若F 为闭集, E 为开集, F 为开集, E 为闭集. 又从而由（1）、（2）知

为闭集

为开集.

c c

, ,

二、解答题

5． 求下列不定积分:

（1）（3）

【答案】（1）设

比较等式两端x 的同次幂系数, 得

由此, 得

于是, 有

（2）

（3）当n=0时, 当

时,

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（2

）（4

）

,

, 通分后应有