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一、证明题

1． （1）设数列

为正的单调递减数列, 且

收敛, 证明:

收敛, 证明:

存在, （2）设数列

为正的单调递减数列, 且

【答案】（1）因为由

收敛, 可知必有

为正的单调递减数列, 由单调有界定理得

对任意存在正整数W , 使得对任意正整数p ,

在上式中, 令取极限, 则得

由的任意性, 则得

显然故有（2）因为由

为正的单调递减数列, 由单调有界定理知

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存在,

收敛, 可知必有

对任意

存在正整数N , 使得对任意正整数p , 成立

在上式中, 令

取极限, 则得

由

的任意性, 则得

显然故有

2． 设f （x ）在[a, b]上连续, 证明不等式量函数时成立.

【答案】

其中

若等号成立, 则对任何即

、 , 有

,

所以f （x ）=f（y ）, 即f （x ）为常量函数.

, 其中等号仅在f （x ）为常

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3． 设

【答案】由

. 证明

:

级数收敛.

知

, 当n 充分大时有

所以级数收敛

. 由条件

知

4

．

设

与, 证明

有相同的敛散性, 从而收敛.

【答案】方法一 令

变换的雅可比行列式为

所以

方法二 因

对内层积分作定积分变换

, 则

二、解答题

5． 设流速A= （―y , x, c ）（c 为常数）求环流量:

（1）沿圆周【答案】（1）圆由于

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, z=0; （2）沿圆周

, z= 0的向径r 适合方程

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