当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设正项级数

【答案】

收敛. 证明:级数收敛, 则

令

则

, 级数

的部分和为

从而级数

2． 证明下列各式

（1）（2）（3）（4）

【答案】（1）令（2）设

代入原方程有:

（3）令（4）令

则则

,

因此

因此

则

, 则

,

因此

收敛.

也收敛, 其中

.

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

3． 证明:

若级数收敛, 绝对收敛,

则级数收敛, 则其部分和

数列

也收敛

.

有

界. 设存在正数M , 使得

【答案】

因为级数

又因为即

收敛,

从而

绝对收敛, 由阿贝尔变换知

又由即

, 收敛可知收敛. 设

则

所以 即

4． 设

（2）

【答案】（1）一方面, 若这表明

.

另一方面, 因为表明

（2）且

, 即

（3）一方面,

由（2）有另一方面,

, 则

且

又因为f 是一一映射, 所以

.

综合两方面, 有

所以

,

则

, 故

;

, 即

使

,

使

,

使y=f（x ）, 即

.

, 这表明

, 则或

, 即

综合两方面, 有

. , 使y=f（

x

）因为

.

, 使y=f（x ） .

或

. 所以

且

, 则

从而

, 这

,

则

, 使y=f

（x

）

所以收敛.

A , B 是X 的任意子集, 证明:（1）

; （3）若f 是一一映射, 则

,

则

或, 总

, 若

, 则, 使y=f（x ）, 即

.

. 使y=f,

（x ）

,

;

二、解答题

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

5

．

试求不定积分

进而求出不定积分与

【答案】

其中

为任意常数. 可得

可得

6．

求

（已知

）.

【答案】

由

,

及

的收敛性知, 在上收敛.

又由及

的收敛性知, 积分

在 上一致收敛.

由可微性定理, 有

即

解此常微分方程可得

①

②