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一、证明题

1． 设函数f 在[a, b]上可导. 证明:存在

【答案】令

连续, 在（a , b ）内可导, 且有

故由罗尔中值定理知, 存在

, 使得

, 使得

, 由f （x ）在[a, b]上可导可知, F （x ）在[a, b]上

, , 即

2． 设函数f （X ）, g （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可导, 且

求证:如果

严格单调增加, 则

,

和

都严格单调增加. 【答案】

不妨设

定理, 存在

使得

又因为

严格单调增加, 所以

从而

从而 3． 设

【答案】

故

在x=0连续. 由

, 可知g 在x=0不连续.

, 证明:复合函数

在x=0连续, 但g 在x=0不连续.

严格单调増加. 同理可证

单调增加.

（否则用

分别代替f （x ）, g （x ））, 根据柯西中值

4． 求证

:.

, 使得

【答案】对任意给定的x>0, 由柯西中值定理,

只需再证明

将（1）式左端中的变易为x 作辅助函数

.

由此可见

是函数f （X

）在

内的惟一极值点, 并且是极大值点.

从而

是函数f （X ）的最大值点于是

显然由（2）式推出（1）式, 所以本题结论成立.

5． 设f 与g 都在[a, b]上可积, 证明

在[a, b]上也都可积.

【答案】由f （x ）、g （x ）可积知. 上也可积. 又

且可积函数的和、差、数乘仍可积, 所以M （x ）, m （x ）在[a, b]上均可积.

6． 证明:（1）若

（2）若

, 则当

, 则

时,

【答案】（1）

（2）

在[a, b]上可积, 从而在[a, b]

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因此

又

*

因此

二、解答题

7． 求曲线

【答案】

令

, 得时取最大值.

故

当在点

时,

当

处曲率最大

.

时,

, 所以K （:r ）在

上曲率最大的点

.

8． 应用对参量的微分法, 求下列积分:

（1）（2）

【答案】 （1）若

, 所以

,

同理