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一、证明题

1． 设

证明：【答案】因处

设

即A+C, = 0, 而

所以

2．

设函数列

故f (x , y) 不可能在D 内部取得极值，f (x , y) 的最大值和最小值只能在D 的边界上取得.

在[a，b]上可导，且存在M>0，使得对任意正整数n

和

成立. 证明：如果级数

【答案】使得

因当令不妨设

收敛，存在正整動时有

对任意正整数p 都成立当n>N时，

于是

在[a，b]上收敛，则必一致收敛.

有

即可.

对D 内任何点(x，y ) , 由于. 故又

.

在有界闭区域D 内有二阶连续的偏导数，有

的最大值、最小值只能在区域的边界上取得.

在有界闭区域D 上连续，故由连续函数的最值性知f (x ，y ) 在D 上一定可取

得最大值和最小值，下证f (x ，y ) 在D 的内部不能取得极值，这里只需证明在D 内任何点(x, y )

取正整数m 充分大，将[a，b]m等分：

从而在[a，b]上一致收敛.

3． 设f 为二阶可导函数，求下列各函数的二阶导数：

【答案】

4． 设级数

证明：当下极限发散. 【答案】(1) 由于当n 充分大时，敛.

(2) 由

比较判别法知，级数

当n 足够大时，发散.

即

由

，

即

由比较判别法知级数

收

时，级数

收敛；当上极限

时，

二、解答题

5． 设

是有界闭集

，

是D 上的连续函数. 证明：

在D 上有界，且一定取到最

大值和最小值.

【答案】①若f 无界，

则

这与已知条件矛盾，所以

②

由确界原理，知

存在，即

再由连续性和有界性得，

在D 上有界，用反证法来证明：

所以由连续性，

在D 上有界.

在D 上一定取到最大值和最小值. 用确界原理来证明.

同理可在D 上有最小值.

6． 讨论下列函数列在所给区间上的一致收敛性：

(1) (3)

【答案】(1) 方法一 易知当由于

(2)

(4) 时，

所以当n>e时有

即

在(0, 1) 内单调递减且

于是

故方法二

在(0，1) 内一致收敛.

的极限函数当

切0

于是

故(2) 易知当而

所以(3) 令

由于

所以

从而

因为

时恒有

取

则当n>N时有

则

因此对一

在(0，1) 内一致收敛.

时，

在[0, 1]上不一致收敛.