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一、计算题

1． 计算下列第一型曲面积分:

（1）（2）（3）（4）

, 其中S 为上半球面其中S 为立体, 其中S 为柱面

;

的边界曲面;

被平面z=0, z=H所截取的部分;

. 其中S 为平面x+y+z=1在第一卦限中的部分.

【答案】（1）因

从而

（2）面积S 由两部分S 1, S 2组成, 其中S 1:影区域都是

, 由极坐标变换可得

（3）（4）

2． 求下列极限:

（1）（2）【答案】（1）

在区域

上连续. 因此

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, S 2

:, 它们在:xOy 面上的投

（2）

3． 在抛物线

【答案】设

在区域上连续, 因此

哪一点的法线被抛物线所截之线段为最短.

为抛物线

上的一点, 则过该点的切线斜率为:

故点处的法线方程为:

的另一交点为

, 则由韦达定理可知, 两交点的距离d 满足

设法线与抛物线

令由 4． 已知

是, 得

, 则

. 故所求点的坐标为上的正的连续函数, 且

不等式得

,

求证:

【答案】由

从而

由于则即得

收敛, 所以

5． 求一正数a , 使它与其倒数之和最小.

【答案】

令1.

故

,

. 所以a=1是f （a ）的极小值. 因此a=1时, 它与其倒数之和最小.

,

则

,

由

得

, 舍去－1得a =

6． 应用高斯公式计算三重积分

,

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其中V 是由【答案】

与所确定的空间区域.

二、证明题

7． 证明

【答案】分部积分, 有

*

c c

8． 证明:开集与闭集具有对偶性--若E 为开集, 则E 为闭集；若E 为闭集, 则E 为开集.

【答案】（1）设E 为开集, 假设E 不是闭集, 则由闭集定义知, E 中至少有一个聚点不属于E 设这个聚点为A , 则必有

c

c

c

c

c

, 使因为E 为开集, 所以存在点A 的某邻域U （A ）

c

c

c

c

因此, U

（A ）中不含有E 中的点, 这与A 是E 的聚点矛盾, 因此, 若E 为开集, 则E 为闭集.

（2）设E 为闭集, 假设E 不是开集, 由开集定义知E 中至少有一个点不是E 的内点, 设这个点为B , 则 根据内点的定义知, 对点B 的任何邻域U （B ）都有U （B ）不含于E 即U （B ）中含有E 中的点, 因此, B 为E 的聚点, 但与是闭集矛盾, 因而, 若E 为闭集, 则E 为开集.

9． 证明:设方程F （x , y ）=0所确定的隐函数y=f（x ）具有二阶导数, 则当时, 有

【答案】由题设条件可得

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c c