2017年东华大学理学院811高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设平面区域D 由直线x=3y，y=3x与x+y=8围成，计算
【答案】由分，如图所示，则
得
，由
得
和
两部
，直线x=2将区域D 分为
图
2． 计算
，其中
是由平面z=0，z=y，y=1以及抛物柱面
【答案】解法一:容易看出，区域
由
和
的顶为平面
，底为平面
，
在
面上的投影
可用不等式表示为
因此
所围成的闭区域.
所围成。故
解法二：由于积分区域属于
，且被积函数）
关于
面对称（即若点
，则
，因此
）
3． 设一平面垂直于平面z=0，并通过从点（1, ﹣1, 1）到直线的方程.
【答案】直线
的方向向量
的垂线，求此平面
也
关于是积函数（即
作过点（1, ﹣1, 1）且以s=（0，﹣1, ﹣1）为法向量的平面
联立
，得垂足
.
. 平面过点（1, ﹣1, 1
）及垂足
所求平面垂直于平面z=0，
设平面方程为
，故有
由此解得B=2D，A=D.因此所求平面方程为
4． 利用三重积分计算下列由曲面所围立体的质心（设密度
）：
【答案】（l ）曲面所围立体为圆锥体，其顶点在原点，并关于z 轴对称，又由于它是匀质的，因此它的质心位于z 轴上，即有
。立体的体积为
。
，即
故所求质心为其质心位于z 轴上，即有
。
。立体的体积为
。
（2）立体由两个同心的上半球面和xOy 面所围成，关于z 轴对称，又由于它是匀质的，故
故立体质心为（3）如图所示，有
。
图
故立体质心为