2017年东华理工大学理学院818高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 计算下列二重积分
（1），其中D 是顶点分别为
和
的梯形闭区
域；
（2），其中
（3），其中D 是圆周
所围成的闭区域；
（4）
，其中
。
【答案】（1）D 可表示为
，于是
（2）由于
（3）利用极坐标计算，在极坐标系中，有
于是
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故
（4）利用对称性可知
，又
因
此
2． 求曲线
切线及法平面方程。
【答案】
与
相应的点
为，于是所求切线方程为
法平面方程为
即
，曲线在该点处的切向量
为
k 在与
相应的点处的
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3． a=3i-j-2k，b=i＋2j-k ，求
⑴a ·b 及a ×b ； ⑵（﹣2a ）·3b 及a ×2b ； ⑶a ，b 的夹角的余弦.
【答案】 ⑴a ·b=（3，﹣1，﹣2）（1, 2，﹣1） ·=3×1＋（﹣1）×2＋（﹣2）×（﹣1）
=3
⑵（﹣2a ）·3b=﹣6（a ·b ）=﹣6×3=﹣18 a ×2b=2（a ×b ）=2（5, 1, 7）=（10, 2, 14） ⑶
4． 问函数
【答案】函数在令由最大值点, 即
, 得驻点
在何处取得最大值? 上可导, 且（舍去）, 知
上的驻点惟一, 故极大值点就是
为极大值点, 又函数在
为最大值点, 且最大值为
3
5． 己知某车间的容积为30×30×6m ，. 现以含CO 20.04%其中的空气含0.12%的CO （以容积计算）2的新 鲜空气输入，问每分钟应输人多少，才能在30 min后使车间空气中CO 2的含量不超过0.06%?（假定输入的新鲜 空气与原有空气很快混合均匀后，以相同的流量排出. ）
，则【答案】设每分钟输入v （m ）的空气. 又设在时刻t 车间中CO2的浓度为x=x（t ）（%）在时间间隔[t，t +dt]内，车间内CO 2的含量的改变量为
即
且
即
代入初始条件
依题意，当t=30时，
将
代入上式，解得
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3
将上述微分方程两端积分，得
可得
于是有
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