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一、证明题

1． 证明：若函数

【答案】令

在区间

内二阶可导，且对

有

将

与

在

点作泰勒展开，有

于

是，对任给的

有

2． 设

证明:f 在D 上连续，但不一致连续.

【答案】显然，f 在D 上是连续的，仅证f 在D 上不一致连续.

取当

无论及

时，

从而

3． 若

推得

收敛吗？ 【答案】由

可得

又因为级数

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有则对

取得多么小，当

取到某个，n 时，

总能使

在D 上不一致连续.

且级数

绝对收敛，证明级数

也收敛. 若上述条件中只知道

绝对收敛，故级数

收敛，能丨收敛，

进而收敛. 若仅知道

收敛，未必有

收敛. 如

则

收敛，但

发散.

二、解答题

4． 设

【答案】

因为

所以

记

对固定的n ，在

上应用第一积分中值定理，有

其中

通过计算可得

故

5． 试确定曲线

【答案】曲线（1）直线

：

（2）直线

上哪些点的切线平行于下列直线：

在x 处的切线斜率为的斜率为1.

由

的斜率为2. 由

得

得

故曲线

故曲线

上点

上点

的切线平行于直线

的切线平行于

直线

6． 利用函数的幂级数展开式求下列不定式极限：

【答案】(1) 因为

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所以

(2) 因为所以

7．

设函数

时的

【答案】因

8． 设V （t ）是曲线

【答案】由旋转体体积公式可得

所以

故

9． 在抛物线

【答案】设

又因为

所以C=l.

. 在

上的弧段绕x 轴旋转所得的体积，试求常数c ，

使

所以当

是由方程组

(u, v 为参量) 所定义的函数，求当

哪一点的法线被抛物线所截之线段为最短?

为抛物线

上的一点，则过该点的切线斜率为：

故点M 0的法线方程为：

设法线与抛物线

的另一交点为

则由韦达定理可知，两交点的距离d 满足

令

则

由

得

故所求点的坐标为

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