2017年曲阜师范大学自动化研究所750数学分析A考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设f 为定义在
上的连续函数，a 是任一实数，
证明E 是开集，F 是闭集. 【答案】对任一点存在
的某邻域
故E 为开集. 下证F 是闭集.
设且
是F 的任一聚点，则存在F 的异点列在连续，从而
可见
使
故f 为闭集.
由
使当
因为f 在连续，从而由连续函数的保号性知，
时
即
从而
2． 用确界原理证明有限覆盖定理.
【答案】
对闭区间
所以存在一个开区间
间覆盖，从而
若这与
3．
设
明
:
在
【答案】由于
，
则
矛盾. 故
即
可被H 中的有限个开区间覆盖. 在
上可积.
当
时
，
. 证
即
由
覆
盖则
用类似的方法可以证明
在
上可积.
在
上连续，所以它在
时，有
因此作
事实上，从而
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的任一开覆盖
使得
构造数集如上，
显然有上界.
因为
覆盖闭区间
取
使
得
取加进去可知
使
得
知，存
在
则
能被中有限个开区
非空. 由确界原理知，存在
能被中有限个开区间覆盖，
把
上连续
，
上一致连续，即
的分割之后，在
只要
上，若的振幅则
，必有
的振幅
由此知，在
上，若
必有
故
这样，件的
必要性对上述的
和
分割
使得
于是由式(2) 知
最后由第三充要条件的充分性即知，
在
上可积.
先找
使式(1) 成立. 再由
在
上的可积性，利用第三充要条
二、解答题
4． 求下列极限：
【答案】
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5． 计算
【答案】令
其中 则
所以
6． (1) 计算积分
(2) 设
在闭正方形
上连续，且满足下列条件：
证明存在
这里A 是(1) 中的积分值. 【答案】(1) 如图所示：
使得
图
所以
由积分中值定理知，存在
使
故
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