2017年曲阜师范大学自动化研究所750数学分析A考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明
【答案】
将
是
故
即
2． 证明:黎曼函数
在k 个，记为
作
的分割
使其满足
由于
而在上式右边第一个和式中，
有
所以
有
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作偶延拓到
上，再在
外作周期延拓，于
上可积。
在
上使得
的点至多有有限个，不妨设是
【答案】由黎曼函数的性质，
且在第二个和式中，
有
且
由第二充要条件，黎曼函数在
3． 设
【答案】设
上可积.
其中f 为可微函数，证明：
则
所以
二、解答题
4． 在
上给定
及函数
证明：无界函数【答案】作的剖分
在上可积.
令
则
为了估计上界，把分成三类：以(0, 1) 为心，以5为半径的圆记作U , 整个落在U 内的作第一类； 不完全落在U 内的整个落在
，要么整个落在正方形
上，归作第三类. 容易看出
令
得
故
归
内，归作第二类；要么
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5． 设圆台上下底的半径分别
为
求此圆台体积变化的近似值.
【答案】圆台体积及
代入上式得
从而
高
若将
分别增
加
6．
设
在在点
上二次连续可微
，
的切线在轴上的截距，试求极限
【答案】利用切线方程求出
将
在
作泰勒展开：
（这里利用了当
时
，
这一事实. 这一点不难用洛必达法则得到）. 于是
对
7． 利用函数
使用洛必达法则，可得
故原极限
且
又设
表示曲线
求证明：（1）某系各班级推选学生代表，每5人推选1名代表，余额满3人
；可增选1名. 写出可推选代表y 与班级学生数x 之间的函数关系（假设每班学生数为30〜50人）（2）正数x 经四舍五入后得整数y , 写出y 与x 之间的函数关系.
【答案】 （1）（2）
8． 求下列不定积分：
【答案】
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