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一、证明题

1． 设

f

:

, 且存在正实数

与

利用不动点定理证明:在B 中有惟一的不动点. 【答案】因为

, 有

所以

, 即f

:

, 故由此可知f 在B 中有惟一的不动点.

2． 设f 与g 都在[a, b]上可积, 证明

在[a, b]上也都可积.

【答案】由f （x ）、g （x ）可积知. 上也可积. 又

且可积函数的和、差、数乘仍可积, 所以M （x ）, m （x ）在[a, b]上均可积.

3． 设u n （x ）是[a, b]上非负连续函数, [a, b]上一定达到最小值.

【答案】记设

列, 仍记为{xk }, 不妨设

下证:u （x 0） =A. 反证法 若不然, 则由

, 使知,

, 使

, 当

由于S （递增, 故更有n x ）这样

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, 对一切

, .

满足

在[a, b]上可积, 从而在[a, b]

在[a, b]上点态收敛于u （x ）. 证明:u （x ）在

, 则S n （x ）递增趋向于u （x ）, 且

则存在点列

且

,

使 .

时, 有

.

存在收敛子

. 由致密性定理知

,

由S n （x ）在点x 0处的连续性知,

. 于是存在适当大的k , 使,

便有

这与

相矛盾.

二、解答题

4． 设

（2）求【答案】（1）即当n=0时, 原命题成立. 对

即

（2）把x=0代入等式又因为

, 所以

5． 试写出单位正方体为积分区域时, 柱面坐标系和球面坐标系下的三重积分的上下限.

【答案】在柱面坐标系下, 用z=c的平面截立方体, 截口是正方形, 因此, 单位立方体可表示为

.

； , 故

两边求n 阶导数, 得

, 故当

时, 原命题成立. 得

,

,

.

（1）证明y 满足方程

在球面坐标系下, 用

的平面截立方体, 截口是长方形, 因此单位立方体可表示为

和

和

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其中

6． 试问k

为何值时, 下列函数列

（1）

（2）

【答案】（1）由又所以

因此当

k

（2）当x=0时, 当则

时, 只要

为就有

上一致收敛.

, 则f （x ）=0

, 故的极限函数

.

所以k

7． 从等式

出发, 计算积分

【答案】

因为所以

8． 通过对积分区间作等分分割, 并取适当的点集算下列定积分:

（1）

（2）

（3）

（4）

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.

一致收敛:

, 设

, 故

在

时取得

则

上的最大值, 从而

在内连续, 而且由

M 判别法知

在[a, b]内一致收敛,

, 把定积分看作是对应的积分和的极限, 来计