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一、证明题

1． 设p (x ) 为多项式

【答案】因为

为于是

的r-l 重实根

为

的r 重实根. 证明必定是的r 重实根，所以

的r-l 重实根. 其中q (x ) 为多项式，且

又因

2． 设

证明函数

故是

在D 上不可积.

【答案】对D 上任意分割

，若在每个取点

若在每个

在(当 3． 设

取点时) . 即均为定义在上可积时，g 在【答案】设记由于

有

在

上可积. 存在

令

使当

则当

与

为非有理点，则

在D 上不可积. 上的有界函数. 证明：若仅在上也可积，且在

上的值仅在k 个点

时，

时，有

当

时，

所以上式

中至多仅有k 项不为0, 故

这就证明

在

可积，且

收敛.

处不同，

中有限个点处

则当在

因此

的极限不存

使

皆为有理数，则

4． 用柯西收敛准则证明

:

【答案】当n 适当大时，对任意的自然数p ，有

当

时，

为自然数，都有

由柯西收敛准则，

收敛.

二、解答题

5． 将定义在设

（1）（2）

’

上的函数，延拓到R 上，使延拓后的函数为（i ）奇函数；（ii ）偶函数.

【答案】设f , g 分别为奇函数和偶函数，则（1）将f （X ）分别作奇延拓和偶延拓，得到

（2）设

为f （x ）在R 上的奇延拓，则当

时，

当对于奇函数

时，必有

于是

所以

同理，f （x ）在R 上的偶延拓为

于是

6． 将函数

在【答案】

故f (x ) 在

的傅里叶级数为

由收敛定理知，它收敛于

上展开为傅里叶级数，并指出傅里叶级数所收敛的函数.

7． 计算曲线积分

其中L 是曲线

从z 轴的正向往负向看去L 的方向是顺时针方向. 【答案】方法一(用参数方程求解) 令故

方法二：(用斯托克斯公式求解) 设S 为平面x-y+z=2上以L 为边界的有限部分，其法向量与z 轴正向的夹角为钝角. 则

为S 在xy 平面的投影域，即

记

则