2017年华南理工大学数学学院625数学分析之数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明下列结论：
(1) 函数不存在原函数；
(2) 符号函数不存在原函数. 【答案】(1) 假设
则
于是
当
时
有
当
时
有
由
于
连续，
即
从而
这与矛盾.
(2) 假设
由拉格朗日定理得
这说明
在点
不可导，与
相矛盾.
2． 在[0，1]上定义函数列
证明级数在[0, 1]上一致收敛，但它不存在优级数. 【答案】由
定义可得
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所
以
从
而时，
有
及
有
恒成立. 所以对于任
意
取
当n>N时，对任意的由柯两准则知，级数而正项级数优级数
3． 设
在[0，1]上一致收敛. 若
发散，
这与
存在优级数. 特别取，有
不存在
发散.
所以级数为优级数矛盾，因此级数
(1) 求(2) 计算g (a ) . 【答案】(1) x=l和
为奇点. 记
则
显然f (x ，a ) 与对积分当当
时，时，
在
由
敛性，利用M 判别法可知，
由可微性定理，有
上收敛.
及的收
上关于-致收敛. 于是
均在
上连续.
由此可知，对积分
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(2) 因为
注意到g (0) =0, 于是当
时，有
故
4． 设f ，g 为D 上的非负有界函数. 证明：
(1
) (2
)
【答案】(1) 对任意
于是
所以
(2) 对任意
于是
所以
所以
是关于的奇函数，因此只需考虑
的情形即可. 此时
，
二、解答题
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