2017年华东师范大学理工学院数学系626数学分析之数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明下列各题
1． 设
【答案】因知收敛.
2． 证明下列结论：
(1) 若f (x , y) 在某域G 上对x 连续，关于x 对y —致连续，则f (x ，y ) 在G 上连续； (2) 若f (X ，y ) 在某域G 上对x 连续，对y 满足利普希茨条件，即
其中
在G 上连续.
(1) 任取【答案】当
并使点
有
连续. 由(2) 任
取
取
的任意性知f (x , y) 在G 上连续.
由
在
点则
当
取
时
所
以
连续. 由
点连续，于是
在点取但是
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且有界，证明
使
收敛.
从而
又
收敛，由比较原则
有界，故存在
使得
有
为常数，则f (x , y) 在G 上连续；
(3) 若f (x ，y ) 在某域G 上分别对每一变量x 和y 连续，并且对其中一个变量单调，则f (x , y)
由于f (x , y) 关于x 对变量y —致连续，所以
且
在点连续，
从而对上述
时有
当
的邻域全部含在G 内，则当
又f (x ，y ) 关于x 连续，
所以
时有
取时，
因此f (x ，y )
在点
连续，所
以
当
则
时
有
当有在
点在
时，由利普希茨条件
得
的任意性知当
连续，故对上述的
则当
时有
在G 上连续.
由f (X ，y ) 对y 连续，从而
当时有
时有
又由f (x ，y ) 对x 连续，
所以
(3) 不妨设f (X ，y ) 关于y 单调. 任取
所以f (x ，y ) 在点
3． 证明：若数列
(1) 级数. (2) 当时，级数
有
连续. 由
，则
的任意性知f (x ，y ) 在G 上连续.
>发散；
【答案】(1) 级数的前n 项和
则
(2) 级数的前n 项和
4． 设
证明:【答案】因为连续，从而
故本题等价于证明
D.
因为
在[0, 1]上一致收敛于f (x ) , 所以对任意的
有
即
5． 设子列.
【答案】因为取
则
是无界的，所以对使得
则侧
因此
使得
使得
不是无穷大，
所以
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故级数发散.
是[0, 1]上连续函数，且在[0, 1]上一致收敛于
>是[0, 1]上的连续函数，且在[0, 1]上一致收敛于所以f (x ) 在[0, 1]上
存在
使得
从而对任意的
从而结论得证.
是一个无界数列，但非无穷大量. 证明:存在两个子列，一个是无穷大量，另一个是收敛
使稩
对任意正整
使得
为无穷大量.
因数列
取
则
则则
于是得一有界子列
6． 设在
【答案】令因此，g 为在 7． 计算
【答案】令
则
所以
8． 应用
【答案】在任何
内一致收敛
.
所以
则
9． 计算：（1）数准确到
【答案】（1）由
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使得
使得
使得
. 由致密性定理知，
中存在收敛子列. 证明：在
则
因为.
上所以
故
上可微，且
上的递减函数. 于是，
由此得
上
二、求解下列各题
其中
（2）准确到
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