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一、证明题

1． 试确定级数证明你的结论.

【答案】由

所以当x>0时级数敛域为

由于

而

所以级数的一般项在敛.

而

因因为敛，所以点 2． 设

证明：交错级数

则由

即式

成立.

单调递减. 设所给的极限为

取

满

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的收敛域. 又问：该级数在收敛域内是否一致收敛？是否连续？是否可微？

收敛，当x<0时发散，当x=0时级数发散，所以级数的收

内不一致收敛于0，故级数

使得当在

在时有

上一致收敛.

内不一致收

有

收敛(利用比式判别法) ，

故在

上连续，所以

当

上连续，从而在点

时有

而

连续.

收可微. 由

上一致收敛，从而

内连续、可微.

上可微，因此在点

的任意性可知

收敛。 (

和

适当小) ，有

可知，存在

当

【答案】先证明一个不等式。设事实上，令

时，有

下面回到本题。由已知的极限，当n 适当大时，

足则当n 适当大时，有

这里应用了不等式(1) ，由此可知，存在

使当n 适当大时，有

由莱布尼茨判别法，

收敛。 内可导，

且

的值如下：

使得或

(当

或

即

对) ，即

则至少存在一点

则

在闭区间

使

3． 证明：

若

在有限开区间

在

【答案】补充定义

上满足罗尔中值定理的条件，于是存在一点

4． 设证明：

【答案】因为于是，

所以

二、解答题

5． 导出下列不定积分对于正整数n 的递推公式：

【答案】⑴

因此，

所以，

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6． 求由下列方程所确定的隐函数的导数

.

【答案】(1) 方程两边对x 求导，则

所以

(2) 方程两边对x 求导数，则

所以(3)

设所以(4)

令

则

则

将

代入上式，即

(5)

令所以

则

(6) 把z 看成x ，y 的函数，两边对x 求偏导数，则有

所以

把x 看成y ，z 的函数，两边对y 求偏导数，则

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