2017年福建农林大学资源与环境学院610高等数学考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 大炮以仰角α，初速度v 0发射炮弹，若不计空气阻力求弹道曲线。
【答案】取炮口在原点，炮弹前进的水平方向为2轴，铅直向上为Y 轴，设在时刻t ，炮弹位于
按题意有
且
解方程（1），
得
即
故弹道曲线为
2． 已知函数向倒数。
代入初始条
件
解方程（2）,
得
得C 4=0，C 3=v0cos α，
即
得
代入初始条
件
，曲线C ：，求f （x , y ）在曲线C 上的最大方
【答案】根据方向导数与梯度的关系知，f （x , y ）沿着梯度方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模。
因
为
，此题目转化为对函
数下的最大值，即为条件极值问题.
为了计算简单，可以转化为
对
下的最大值。
构造函数：令
在约束条件C
：
，
故
，
模
在约束条件C
：
得到因此
故f （x , y ）在曲线C 上的最大方向导致为
。
3． 设y=f（x ）的图形如图所示，试指出f （x ）的全部间断点，并对可去间断点补充或修改函数值的定义，使它成为连续点。
【答案】均为f （x ）的间断点，除x=0外它们均为f （x ）的可去间断点，
，则它们均成为f （x ）的连续点。
补充定义修改定义
4． 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小:
，其中积分区域D 是由x 轴、y 轴与直线x+y=1
所围成；
，其中积分区域D 是由圆周
围成；
，，，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为（1, 0）（1, 1）
；
（2, 0）
，其中
【答案】（1）在积分区域D 上，
，故有
根据二重积分的性质4，可得
所
。
（2）由于积分区域D 位于半平
面
。从而
（3）由于积分区域D 位于条形区域
，从而有
。因此
（4）由于积分区域D 位于半平面而
，因此
5．
设
在
的某邻域内具有三阶连续导数,
如果
, 不妨设时
,
时
时,
为曲线的拐点。
6． 讨论函数
【答案】因为
故f （x ）在x=0处连续。
不存在，故f （x ）在x=0处不可导。
7．
求由平面
得的立体的体积。
【答案】此立体为一曲顶柱体，它的底
是
，顶是曲面
面上的闭区
域，故体积
（图）
内，故在D 上
有
。
内，故知区域D
上的点满足
内，故在D 上有，从
,
而,
试问
是否为拐点? 为什么?
【答案】已知在3>0,
当
, 从而当
凸的, 当
,
由于, 故
在
, 即函数
, 即函数f （x ）在
在
的某个邻域内连续, 因此必存内
在
单调增加。又己
知
内的图形是
内的图形是凹的,
所以点
，在x=0处的连续性和可导性。
所围成的柱体被平面
及抛物面截