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一、证明题

1． 求证:

（1）若（2）若

,,

则,

则

, 所以对任给定

, 存在m , 当n>m时, 便有

于是,

对

;

【答案】（1

）因为有

注意到, 当m 取定时

,

便是一个有限数, 再取N>m, 使得当n>N时, 有

这样, 当n>N时, 有

从而（2）因为

对

2． 设悬链方程为A （t ）.

该曲边梯形绕x 轴一周所得旋转体体积、侧面积和x=t处的截面面积分别记为

证明（:1）

【答案】（1）由弧长公式得

（2）

（3）

它在

上的一段弧长和曲边梯形的面积分别记为:s （t ）、

应用第（1）小题结论, 即得

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由定积分的几何意义可得

（2）旋转体体积为

侧面积为

所以

（3）x=t处的截面面积为 所以

3． 设函数

【答案】令

证明

:则

故

4． 设函数f 在[a, b]上可导. 证明:存在

【答案】令

连续,

在（a

, b

）内可导,

且有

故由罗尔中值定理知

,

存在

5． 证明定理:

.

【答案】

定理:若）时.

则对任给的

于是当

存在

. 使得当时, 也有

, 使得

, 由f （x ）在[a, b]上可导可知, F （x ）在[a, b]上

,

, 使得

, 即

即&

同理可得

并且

’

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则对任给的（即

存在）时有取

. 使得

. 而当

, 则当

（即时, 总有

故

）时有

二、解答题

6． 设f （x ）是周期为

【答案】设

由条件知由费耶定理，知, 故

7． 方程

【答案】令②F （0, 0）=0;

③④

8． 计算下列反常积分的值:

（1）（3）【答案】 （1）

（2）

（3）

的连续函数，且其傅里叶级数处处收敛，

求证这个傅里叶级数处处收敛到f （x ）.

，利用极限的性质，得一致收敛于f （x ）所以，

收敛于f （x ）.

能否在原点的某邻域内确定隐函数y=f（x ）或x=g（y ）?

, 则有

①F （x , y ）在原点的某邻域内连续；

均在上述邻域内连续；

在原点的某邻域内可确定隐函数y=f（x ）.

故由隐函数存在惟一性定理知, 方程

; （2）

（4）

;