2017年中北大学理学院822高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B. 再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
则A 与B （ ）.
使
因此A 与B 合同.
2． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 3． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
【解析】因为当否则有
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
则
线性无关，
由上述知因此
4． 设向量组
线性相关，所以线性相关，故选A.
于是
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为所以向量组线性无关.
5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，
线性无关.
记
A. B. C. D.
【答案】B
则（ ）.
【解析】由已知，有
于是
二、分析计算题
6． 证明埃尔米特矩阵的特征值是实数，并且它的属于不同特征值的特征向量相互正交.
【答案】设A 是一个埃尔米特矩阵，
是A 的一个特征值. 于是有非零向量
满足
令
其中（i=l, 2，…，n ）是的共辄复数.
故有于是
上式左边为
右边为
因为
的特征值，
因此
于是
因为A 是埃尔米特矩阵，所以因为
相互正交. 7．
所以
即
又有
正交. 也就是说明埃尔米特矩阵的属于不同特征值的特征向量
即
是一个实数.
再设是A 的一个不等于是A 的一个属于的特征向量，
定义
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