2018年广西科技大学理学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
是来自
的样本，的密度函数为
已知，试证明，
是
于是
所以的费希尔信息量为
，这就是说
又
这就证明了
2． 设
证明: （1）（2）
【答案】（1）由下界，
需要费希尔信息量，大家知道，正态分布
的密度函数p （x ）的对数是
由此得
的费希尔信息量
是
的有效估计；
是的无偏估计，但不是有效估计. 知
. 为了获得
的元偏估计的C-R
是
是来自正态总体
的有效估计，从而也是UMVUE.
的一个样本，若均值已知，
的任一无偏估计的C 一R 下界为
，的有效估计，
从而也是UMVUE.
【答案】总体
从而的无偏估计的C-R 下界为
无偏估计的方差相等，故此
是
，
的有效估计.
此下界与上述（2）由于
可见，
，即是的无偏估计，其方差为
为了获得的无偏估计的C-R 下界，需要知道的费希尔信息量，由于
从而的元偏估计的C-R 下界为由于无偏估计的方差此处，
，
，故不是的有效估计.
的无偏估计的C-R 下界与的方差的比为
，
该比值常称为无偏估计的效. 3． 证明:
【答案】不妨设另一方面，还有
综合上述两方面，可得
4． 设随机变量X 服从负二项分布，其概率分布为
证明其成功概率p 共轭先验分布族为贝塔分布族. 【答案】取成功概率p 先验分布为
，则
与的联合分布为
. ，则
所以，
即成功概率p 的后验分布为塔分布族. 5． 设在常数c
为独立同分布的随机变量序列，方差存在，令使得对一切n 有
则
证明:
服从大数定律.
对任意的
因而
证明有
所以由马尔可夫大数定律知
6． 设随机向量
证明:【答案】由
满足
知
，故成功概率p 的共轭先验分布族为贝
. 又设
有
为一列常数，如果存
【答案】不妨设
服从大数定律.
所以
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