2017年宁波大学高等数学(同等学力加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 求函数
令其为0，解得驻点为
又闭区域
在区域
对
的偏导，得
。
在直线
上，
，则令
在直线在直线
上，上，
，则令，则令
，得
，得
在直线
上，
，则令
，得
比较以上所有函数值，可知函数Z 在D 上的最大值为1，最小值为0. 2． 已知
，其中
，求
及
。
。可知，该驻点在区域D 内，且
的边界由四线段构成：
上的最大、最小值。
，并
【答案】由题意，分别求出函数
【答案】由
两边同时对X 求导得
得
原方程组两边对y 求导得
，即
得，即
3． 有一盛满了水的圆锥形漏斗，高为10cm ，顶角为60°，漏斗下面有面积为0.5cm 2的孔，求水面高度变化的规律及流完所需的时间。
【答案】水从孔口流出的流量Q 是单位时间内流出孔口的水的体积，即又从力学知道，为水面到孔口的高度。于是有
（1）设在时刻t ，水面高度为
。
，其中0.62为流量系数。S 为孔口截面积，g 为重力加速度，h
，即，从图中可见，
，于是在时间间隔[t, t+dt]
内漏斗流出的水的体积，即水体积的改变量
（2
）得微分方程
，
并有初始条件
。由微分方程分离变量，
得
图
两端积分，得
于是
代入
，即得
，代入h=0时得流完所需时间t ≈10
，代入初始条件：t=0，h=0，得
（s ）。
4． 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解
（1）
（2）（3）
。
，
则原方程为，即
，代入
，分离变量，
得
并整理，得通解。
，分离变量，
得
，
积分得
。
【答案】（1）原方程可写成令
，
即，积分得
，
有
由初始条件x=0, y=1, 得C=-1，于是所求特解为（2
）令
。
将求特解为
（3）将原方程写成
代入上式并整理，得通解
。
，令
，整理并分离变量，得
，有
，
有
则原方程成为
，代入初始条件x=1, y=2, 解得C=2，于是所
，则原方程为
，积分得
故求特解为
，代入。
并整理，得通解
，以初始条件x=1, y=1定出C=1。故所
二、计算题
5． 一球形行星的半径为R ，其质量为M ，其密度呈球对称分布，并向着球心线性增加。若行星表面的密度为零，则行星中心的密度是多少?
r 0≤r ≤R ）【答案】设行星中心的密度为脚，则由题设，在距球心（处的密度为由于
，故
，即
于是
。
因此