2017年内蒙古师范大学高等数学考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 求函数
令其为0，解得驻点为
又闭区域
在区域
对
的偏导，得
。
在直线
上，
，则令
在直线在直线
上，上，
，则令，则令
，得
，得
在直线
上，
，则令
，得
比较以上所有函数值，可知函数Z 在D 上的最大值为1，最小值为0.
2． 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解
（1）（2）（3）
【答案】（1）原方程可写成令
，
即，积分得
，
有
。
，
则原方程为，即
，代入
，分离变量，
得
并整理，得通解。
，分离变量，
得
，
积分得
。
。可知，该驻点在区域D 内，且
的边界由四线段构成：
上的最大、最小值。
，并
【答案】由题意，分别求出函数
由初始条件x=0, y=1, 得C=-1，于是所求特解为（2
）令
。
第 2 页，共 38 页
，
有
则原方程成为
将求特解为
代入上式并整理，得通解
。
，令
，整理并分离变量，得
，代入初始条件x=1, y=2, 解得C=2，于是所
（3）将原方程写成，有，则原方程为
，积分得
故求特解为
，代入。
并整理，得通解
，以初始条件x=1, y=1定出C=1。故所
3． 在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：
（1）（2）
【答案】（1）在方程（2）在方程即
故所给二元方程所确定的函数是微分方程的解。
两端对x 求导，得
。
两端对x 求导，得
，即
，
再在上式两端对x 求导，得
即 4． 试求
的经过点M （0, 1）且在此点与直线
相切的积分曲线。
【答案】由于直线
在（0, 1）处的切线斜率为，依题设知，
所求积分曲线是初值问题的解。
由
再积分，
得
积分
得
，代入x=0, y=1,
得
代入x=0
,
得
，即
有
故所给二元方程所确定的函数是所给微分方程的解.
于是所求积分曲线的方程为
二、计算题
5． 判定下列级数是否收敛. 如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛
?
第 3 页，共 38 页
【答案】（1
）
且
（2）因对收敛.
（3）
敛，从而原级数绝对收敛.
（4）敛法知级数
发散，又
是交错级数，满足
而
是发散的，故由比较审
且
故由
因
是公比
的等比级数，故收
是发散的，
又
故由莱布尼茨定理知原级数收敛且条件收敛.
由比值审敛法知级数
收敛，故原级数绝是交错级数，
满足
莱布尼茨定理知原级数收敛且条件收敛.
（级数发散。
6． 求直线
在平面
上的投影直线的方程.
5
）
故
即原级数的一般项
当
由
于
时不趋于零，故该
【答案】作过已知直线的平面束，在该平面束中找出与已知平面垂直的平面，该平面与已知平面的交线即为所求.
设过直线得由得
. 代入平面束方程，得
的平面束方程为
. 因此所求投影直线的方程为
第 4 页，共 38 页
相关内容
相关标签