2017年宁波大学高等数学(同等学力加试)复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、解答题
1． 设D 是由曲线
，直线
及x 轴所围成的平面图形，V x ，V y 分别是D 绕x ，求a 的值。
2． 设有连结点O （0，0）和A （1, 1）的一段向上凸的曲线弧曲线弧
与直线段
2
所围成图形的面积为x ，求曲线弧
轴和y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若
【答案】
, 对于，上任一点P （x , y ）
的方程。
【答案】设曲线弧的方程为y=y（x ） 依题意，有
上式两端对x 求导
，
，则微分方程成为
，积分得。
，
即得微分方程
，因
，故有
，
令
，
有
。
，故1=C。于是得曲线弧的方程又因曲线过点A （1, 1）
3． 求下列齐次方程的通解
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
【答案】（1）当x>0时，可将原方程写成则原方程为
积分得将
，分离变量，得，即
代入上式并整理，得通解
，
令
，
即
。
，
有，令。
，即
有
，
（2
）原方程可表示成，则原方程为
，分离变量，得
积分，得将
代入上式，得
，即
。
。
。
，即
。
。
，有
，则原方程
，故通解为，令，积分得
（3
）原方程可表示为为
将
，即
代入上式并整理，得通解
（4）原方程可写成令
，即
，有
，则原方程为
，积分得
, 令
，即，积分得
，有，即
。
。
分离变量，得将
代入上式并整理，得通解
（5）原方程可写成
。分离变量，得
将
代入上式，得通解（6）原方程可写成则原方程为整理并分离变量，得积分得
即
。
，则原方程成为，即
。令 ，即
，将
，即，有。
。
代入上式，得通解
。
4． 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解
（1）（2）（3）
【答案】（1）原方程可写成令
，
即，积分得
，
有
。
，
则原方程为，即
，代入
，分离变量，
得
并整理，得通解。
。
由初始条件x=0, y=1, 得C=-1，于是所求特解为
（2
）令
。
将求特解为
，
有
则原方程成为，分离变量，
得，
积分得
代入上式并整理，得通解
。
，令
，整理并分离变量，得
，代入初始条件x=1, y=2, 解得C=2，于是所
（3）将原方程写成，有，则原方程为
，积分得
故求特解为
，代入。
并整理，得通解
，以初始条件x=1, y=1定出C=1。故所
二、计算题
5． 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体，尺寸如图所示，当水箱装满水时，计算水箱的一个端面所受的压力。
图
【答案】以侧面的椭圆长轴为x 轴，短轴为y 轴设立坐标系，则该椭圆方程为
，
取y 为积分变量，则y 的变化范围为[-0.75, 0.75]，对该区间内任一小区间[y，y+dy]，该小区间相应的水深为0.75-y ，相应面积为
，得到该小区间相应的压力
因此压力为
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