2018年长沙理工大学数学与计算科学学院837高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设a 1=, a 2=, a 3=, a 4=, a 5=（2, 1, 2, 2, -4）（1, 1, -1, 0, 2）（0, 1, 2, 1, -1）（-1, -1, -1, -1, 1）（1, 2, 1, 1, 1）试确定向量组a 1, a 2, a 3, a 4, a 5的秩和一个极大线性无关组.
【答案】
将梯形
.
写成列向量，拼成一个矩阵，并进行初等行变换，将此矩阵化为阶
①
秩
以及
无关组不是惟一的.
2．
设
证明对任
【答案】设f 经正交变换对于任意的
有
类似可得
3． 设
（2）求
成为对角阵；
所以A 的特征值为
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且为其一个极大线性无关组. 注从①式
看出
等都是此向量组的一个极大线性无关组，此即：一个向量组的极大线性
是一个实二次型
，有.
，
化为标准形
是A 的特征多项式的根，
且1 .
（1）求正交矩阵P ，使【答案】 （1）计算可得
（n 是正整数）.
当当令
时，得特征向量
时，得特征向量
则
（2）由①式有
其中
4． 设
（1）试给出A 可逆的条件，并求（2）当A 可逆时，二次型
是否正定？并说明理由.
【答案】（1）由拉普拉斯定理，在A 中取第1，2行，可算得
∴当
时，A 可逆. 且可求得
（2）当时，设二次型对应的矩阵为B , 则
且
这时二次型
不是正定阵，即
不一定是正定的.
比如不是正定二次型.
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那么B
中有一阶主子式
5． 求以下二次型的矩阵：
【答案】设
为
矩阵
的行向量组. 则n 阶方阵
但由于
且
为n 阶对称方阵，故二次型f 的矩阵为
二、证明题
6． 设
，证明:
【答案】 （1）任意
, 即（2）任意，自然有
7． 证明:如果向量组
线性表出.
【答案】由题设有不全为零的数得故故
将
现来证
不全为零，且有
两端同乘以
使
用反证法，若
与题设
则得
即可由
线性表出.
8． 设A 为n 阶实对称方阵. 证明：
①A 半正定
有实方阵B 使
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，则有
.
，即有时总有
, 故
. 又对
，即
. 又若，由，有
或
则有对
.
故，
由
. 这就证明了显然有. 故
. 故
线性无关，而线性相关，则向量可以由
将
由
移项， 不全为零， 线性无关矛盾.