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一、证明题

1． 设

（1）若（2）若【答案】（1）

2． 若级数

证明级数【答案】

由

收敛,

由比较原则得正项级数如如果取

收敛, 从而满足不等式且

为发散的正项级数, 则必有

与发散.

. 证明:

【答案】由已知条件可知, f （x ）是[a, b]上的严格凹函数. 设则必有

, 有

对上式两边在[a, b]上积分, 可得:

由于

从而, 对任意的

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, 求证:

, 则f 为单射, g 为满射;

, 则f 与g 互为反函数.

, 由条件得

, 即

使得即f 为单射.

, 故g 为满射; 若

则由条件推出与

都收敛, 且成立不等式

也收敛. 若

可得

,

都发散, 试问

一定发散吗？

与

,

. 都收敛, 故正项级数都发散. 收敛.

未必发散.

又级数收敛. 若

均发散, 但

3． 设f （x ）在[a, b]上二阶可导, 且

是f （x ）的最大值点,

>0.由凹函数的性质, 对任意的

, 则

, 有

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4．

给定积分

满足

,

作正则变换, 区域D 变为, 如果变换

证明:

【答案】利用复合函数的微分法, 有

通过计算易知

注意到

可得

5． 设

（1）（2）（3）若

为有界数列, 证明:

s , 则

（4）若

’

则

为有界数列知.

也是有界数列,

故

并存在子列

与. 使得时有

, 即

（2

）设

于是, 此时有

由的任意性可得

*

即

第

3 页，共

33 页

【答案】（

1）由于是,

对于, 使得

都存在. 设

并且存在子列

则对任意>0,

存在N , 使得当n>N

时有

, 任给

, 存在正整数N ,

使得当

按上极限、下极限的定义有,

由定理知, 对任给的

存在N , 使得当时, 有

由上、下极限的保不等式性可得

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（3）设使得当

时,

有

由定理知, 对任给的

, 由此得

, 存在正整数N ,

,

, 又存在另一子列

使得

由上、下极限的保不等式性有由的任意性可知. （4）存在

的子列

, 使得’因此

6． （1）证明:若向量

, 必存在

是凸开集, f :

同理可证

是D 上的可微函数, 则对任意两点

, 满足

, 以及每一常. （2）利用（1）

结果导出微分中值不等式

.

, 因为f 在D 上可微, 所以F （x ）在

使

又（2）由

故有

, 则有

即

【答案】（1）考虑实值多元函数D 上也可微, 由于

有

, 则F :

是凸开集, 故根据多元函数的微分中值定理, 对

二、解答题

7． 求两曲面

【答案】对方程

关于z 求导得

解得

因此交线在xy 平面的投影曲线的切线方程为

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的交线在xy 平面上的投影曲线的切线方程.