2017年辽宁师范大学计算机与信息技术学院601高等数学考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 已知f （x ）是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系
式
，且f （x ）在x=1处可导，求曲线y=f（x ）在点（6, f （6））
处的切线方程。
【答案】由f （x ）连续，令关系式两端x →0，取极限得又而
故由于
于是
，即（6, 0）处的切线方程为因此，曲线y=f（x ）在点（6, f （6））即
2． 求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积:
（1）y=x，x=y，绕y 轴；
2
2
（2）y=arcsinx, x=1, y=0, 绕x 轴；
22
（3）x +（y-5）=16，绕x 轴；
，y=a（1-cost ）的一拱，y=0，绕直线y=2a。 （4）摆线x=a（t-sint ）【答案】（1）（2）
（3）该立体为由曲线减去由曲线
，
，
，，
，
，
所围成图形绕x 轴旋转所得立体
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所围成图形绕x 轴旋转所得立体，因此体积为
（4）该立体可看作由曲线y=2a，y=0, x=0, x=2πa 所围成的图形绕y=2a旋转所得的圆柱体减，则体积为
去由摆线y=2a，x=0, x=2a所围成的立体，计摆线上的点为（x ，y ）
，再根据摆线的参数方程进
，此时y=a（1-cost ），因此有
行换元，即作换元x=a（t-sint ）
3． 从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗（如图所示）。问留下的扇形的中心角取多大时, 做成的漏斗的容积最大?
【答案】如图, 设漏斗的高为h , 顶面的圆半径为r , 则漏斗的容积为故
令当
, 得
时,
, 故V 在
内单调增加; 当
为极大值点, 又驻点惟一, 从而时, 做成的漏斗的容积最大。
时,
, 故V 在
, 又
内单调减少。因此
也是最大值点, 即当
取
图
4． 计算抛物线y>0，故有
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从顶点到这曲线上的一点M （x , y ）的弧长。
【答案】不妨设p>0，由于顶点到（x , y ）的弧长与顶点到（x , -y ）的弧长相等，因此不妨设
5． 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力。已知闸门上水的压强p 与水深h 存在函数关系, 且有P=9。8h
。若闸门高H=3m, 宽L=2m, 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P 。
,
取
,
并记
【答案】在区间[0, 3]上插入, n-1
个分点
得到闸门所受水压力的近似值为
水压力为积分区间的分法和
为小区间的端点故
6． 已知函数向倒数。
【答案】根据方向导数与梯度的关系知，f （x , y ）沿着梯度方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模。
因
为
，此题目转化为对函
数下的最大值，即为条件极值问题.
为了计算简单，可以转化为
对
下的最大值。
构造函数：令
得到因此
故f （x , y ）在曲线C 上的最大方向导致为
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, 根据定积分的定义可知闸门所受的
, 由于被积函数连续, 而连续函数是可积的, 因此积分值与
的取法无关。为方便计算, 对区间[0, 3]进行n 等分, 并取
, 于是
，曲线C ：，求f （x , y ）在曲线C 上的最大方
，
故，
模
在约束条件C
：在约束条件C
：
。
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