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一、计算题

1． 求下列函数的最大值、最小值:

【答案】（l ）函数在令

, 得驻点

上可导, 且, 比较, 最小值为上可导, 且上可导, 且,

比较

,

得函数的最大值为

,

得函数的最大值为（2）函数在（3）函数在令最小值为

,

得驻点

2． 甲船以6km/h的速率向东行驶，乙船以8 km/h的速率向南行驶。在中午十二点整，乙船位于甲船之北16 km处。问下午一点整两船相离的速率为多少?

【答案】设从中午十二点整起，经过t 小时，甲船与乙船的距离为

故速率

当t=1时（即下午一点整）两船相离的速率为

3． 以初速v 0竖直上抛的物体，其上升高度s 与时间t 的关系是:

（1）该物体的速度v （t ）; （2）该物体达到最高点的时刻。 【答案】（1）

，故

。

，求:

（2）物体达到最高点的时刻v=0，即

4． 设有一圆板占有平面闭区域的温度是

【答案】解方程组

。该圆板被加热，以致在点

，求该圆板的最热点和最冷点。

求得驻点在边界

上，有

。

当比较

5． 求对数螺线

【答案】

6． 将函数

【答案】（1）展开成正弦级数： 将f （x ）作奇延拓，得得

则

满足收敛定理的条件，且在

上

，再将并有间断点

故

（2）展开成余弦级数： 将f （x ）作偶延拓，得则

满足收敛定理的条件，在

时，有边界上的最大值及

的值知，最热点在相应于

，时，有边界上的最小值

，最冷点在

。

。

的一段弧长。

分别展开成正弦级数和余弦级数。

作周期延拓，

再将

上

作周期延拓得，

且有间断点x=h。

故

7． 判定下列级数的收敛性：

【答案】（1）知原级数发散。

（2）（3

）

而级

数

据比值审敛法知

（4）

敛法知原级数发散。

（5）

因

由于一般项不趋于零，故级数发散。

是收敛的（事实上

，

因

而级数

发散，故由极限形式的比较审敛法

，故由比较审敛法知原级数收敛。 收敛）而级数

发散，故由极限形式的比较审

由比值审敛法知，当a<1时，级数收敛，当a>1时级数发散。 当a=1时，原级数成为

8． 试决定曲线

点, 且点（-2, 4, 4）在曲线上。

【答案】根据题意有

即

中的a , b , c , d , 使得x=-2处曲线有水平切线, （1, -10）为拐 由p-级数的结论知，当s>1时级数收敛，当s ≤1时级数发散。

解此方程组得a=1, b=-3, c=-24, d=16。