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一、选择题

1． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩

则线性方程组（ ）•

【答案】D 【解析】

2． 设向量组

线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）

【答案】C 【解析】方法1:令

则有

由

线性无关知，

该方程组只有零解从而

线性无关.

方法2:对向量组C ，由于

线性无关，且

因为所以向量组线性无关.

3． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ A.E B.-E C.A D.-A

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.

）

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有

B （E-A ）=E.

又C （E-A ）=A，故

（B-C ）（E-A ）=E-A.

结合E-A 可逆，得B-C=E.

4． 设线性方程组的解都是线性方程组

【答案】（C ） 【解析】设即证秩 5．

设

是3维向量空

间的过渡矩阵为（ ）

.

的一组基, 则由

基

到

基

的解空间分别为

则

所以

的解，则（ ）。

【答案】（A ）

二、分析计算题

6． 设V 是实数域R 上三维向量空间

，

试求（1）T 在（2）T 的逆变换

（3）

在

在

中的变换公式；

中的变换公式； 中的变换公式.

下的矩阵为A , 由①知

（2）

其中

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是V 的一组基. 又设线性变换下

【答案】（1）设T 在基

（3）

7． 设V 为n 维欧几里得空间i 为乂的正交变换，令

显然

是V 的予空间，证明：

只要证明

所以故因为

所以即综上所述

8． 证明：如果

【答案】因为于是

因此

与

也互素.

若当

时总有

其中于是

从而亦有

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【答案】由

因为

于是

与

互素，那么

互素，所以有多项式

也互素. 使得

，故

9． 设A ，B 为n 阶方阵. 证明

：

【答案】若

可令.

则

于是总存在实数c ，使当时有从而

故

，