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一、选择题

1． 设行列式

为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B

【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得

2． 若

【答案】C

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

3． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵

.

A. B. C. D.

【答案】D

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都是4维列向量，且4阶行列式

【解析】由题设知所以

4． 设

则3条直线

（其中

）交于一点的充要条件是（ ）

.

【答案】D 【解析】令其中

则方程组①可改写为

则3条直线交于一点

线性无关，由秩

方程组①有惟一解

由秩A=2, 可知可知线性相关，即可由线性表出，

从而

可由线性表出. 线性相关，故选D.

5． 设线性方程组的解都是线性方程组

【答案】（C ） 【解析】设即证秩

的解空间分别为

的解，则（ ）。

则

所以

二、分析计算题

6． 设A 为m ×n 矩阵，X 为nXm 未知矩阵. 证明：矩阵方程AXA=A必有解.

【答案】设r （A ）=r.若r=0，则结论显然成立. 下设于是存在m 阶与n 阶满秩方阵P ，Q 使

现在令

则

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I

即X=G是方程AXA=A的解•

7． 设A 是n 阶实对称矩阵，值

证明

【答案】令

由已知得T 是正交矩阵，且

于是

8． 已知线性方程组

【答案】取

可得方程（2）的一般解

由于（2）的解均为方程组（1）的解，将上式代入方程组（1）得

由t 的任意性得故有

进而解之得：

9． 设P 是数域

，

证明：存在可逆阵P ，Q ，

使

且AC=CB，秩C=r.

有相同的，阶顺序丰子式.

（2）同解，试求

是A 的n 个正交的单位特征向量，它们分别属于特征

【答案】因为秩C=r，所以可逆阵P 、Q ，使

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