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一、证明题

1． 设

（1）（2）

【答案】（1）

（2）用数学归纳法证明. 由（1）知, 当n=1时, 命题成立. 假设当n=k时, 命题成立, 则当时,

即当

2． 给定曲面

（a , b, c为常数）, 或由它确定的曲面z=z （x , y）, 证明:

（1）曲面的切平面通过一定点; （2）函数z=z （x , y）满足方程【答案】（1）由

及F 1, F 2不能同时为零, 可得

化简得

由此可以看出, 曲面z=z （x , y ）的切平面过定点（a , b, c ）.

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, 证明:

;

时, 命题也成立. 于是（2）的结论得证.

（2）对上式两边再分别关于x , y 求偏导, 得

即

由此可见, 当

3． 倘若例. ）

【答案】不一定. 如反例:设数列

为

为

是有界数列.

, 使得

【答案】设

则

, 于是有

由假设gU ）为单调函数, 故使得

不变号, 从而根据推广的积分第一中值定理, 存在

显然, 这两个数列都是无界数列, 但是

时, 等式成立. 由函数连续可微知, 对x=a或y=b时等式仍成立.

都是无界数列, 试问

是否必为无界数列? （若是, 需作证明; 若否, 需给出反

4． 证明:若在[a, b]上f 为连续函数, g 为连续可微的单调函数, 则存在

二、解答题

5． 试求下列极坐标曲线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积:

（1）心形线（2）双纽线【答案】 （1）

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（2）

6．

用抛物线法近似计算

【答案】当n=2时,

当n=4时,

当n=6时,

7． 设f

是一元函数, 试问应对f

提出什么条件,

方程2f （xy ）=f（x ）＋f （y ）在点（1, 1）的邻域内就能确定出惟一的Y 为z 的函数？

【答案】设且

因此只需

在x=﹣l 的某邻域内连续, 则F , F x , F y 在（1, 1）的某邻域内连续. 所以, 当

时,

方程

在

x=l的某邻域内连续

, 且

8． 求曲面

【答案】设曲面上过点故

代入曲面方程得

所以

可见在点（1, 2, 2）和点（﹣1, ﹣2, ﹣2）处的切平面与所给平面平行, 在（1, 2, 2）

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，共

29

页

（分别将积分区间二等分、四等分、六等分）.

, 则

就能惟一的确定y 为x 的函数.

的切平面, 使它平行于平面x+4y+6z=0.

的切面和平面x+4y+6z=0平行, 又在该点的切面为

所以