2017年江西财经大学线性代数考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把其余列向量用最大无关组线性表示：
【答案】⑴记
从A 的行最简形可知：是A 的列向量组的一个最大无关组；而
（2）记
从上而A 的行最简形可知
：
第 2 页，共 33 页
是A 的列向量组的一个最大无关线；而
2． 设是m 阶矩阵的特征值，证明也是n 阶矩阵BA 的特征值.
特征向量
有
【答案】根据特征值的定义证明.
设A 是矩阵AB 的任-非零特征值，是对应于它的特征向量. 即有用矩阵B 左乘上式两边，
得若再由 3． 设
则由特征值定义知，为BA 的特征值. 下面证明.
式得
因此
事实上，由
问λ为何值时，此方程组有惟一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求其通解. 【答案】由于系数矩阵是方阵，其行列式
当当
即
且
时，方程组有惟一解.
时，增广矩阵成为
可见R （A ）=2, R （B ）=3
，当
时，増广矩阵成为
方程组无解；
知R （A ）=R（B ）=1，方程组有无穷多解，且其通解为
4． 判定下列二次型的正定性：
（1）（2）
【答案】（l ）f 的矩阵
第 3 页，共 33 页
它的1阶主子式
3阶主子式，即（2）f 的矩阵
2
阶主子式
则知f 为负定二次型.
它的1阶主子式1>0; 2阶主子式
知f 为正定二次型.
5． n 阶对称阵的全体V 对于矩阵的线性运算构成一个以A 表示V 中的任一元素，变换换.
【答案】
由变换T 的定义，有
. 因此
，3阶主子式，即则
维线性空间. 给出卵阶可逆矩阵P ，
称为合同变换. 试证明合同变换T 是V 中的线性变
，即T 是v 中的变换. 又
由线性变换的定义，知T 是y 中的线性变换.
6． 设
证明【答案】因
故
也是方程Ax=b的解.
7． 用配方法化下列二次型成规范形，并写出所用变换的矩阵：
（1）（2）（3）
是非齐次线性方程组Ax=b的S 个解
，
也是它的解.
为实数，满足
【答案】⑴由于f
中含变量的平方项，故把含的项归并起来，配方可得
令
即
第 4 页，共 33 页