当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设函数在

证明在【答案】因为

存在相应的分割T , 使得

因此

而

故

即在

上可积。

这里

上有定义，且对于任给的上可积。

又因为函数表示函数

在

上可积，

所以对任给的

在相应小区间上的振幅. 所以

存在

上的可积函数g ，使得

2． 试证：在原点(0, 0) 的充分小邻域内，有

【答案】设

则

故

3． 证明下列函数在指定区间上的单调性：

⑴⑵(3

)

在在在

上严格递増；

上严格递增； 上严格递减.

那么，

即

故(2)

设由

在

上严格递增.

那么，

可得

于是

由此可得

第 2 页，共 26 页

【答案】(1) 设

即

故

在上严格

递增.

(3

)

则

所以

那么，

故

4． 证明：

(1) 若为凸函数，为非负实数，则为凸函数； (2) 若

均为凸函数，则

为凸函数；

上凸增函数，则

为Ⅰ上凸函数。

和任意

(3) 若为区间Ⅰ上凸函数，g 为总有

两边同乘非负实数得到

即

故

为凸函数.

均为区间I 上的凸函数，由凸函数的定义知，对任意

两式相加得到

即

故

为凸函数.

有

因为g 为

上的增函数，所以

又因为g 为凸函数，所以

由这两个式子可得

第 3 页，共 26 页

在上严格递减.

【答案】(1) 设为定义在区间I 上的凸函数，由凸函数的定义知，对任意

(2)

设和任意总有

(3) 由凸函数的定义知，对于任意

故

为I 上的凸函数.

二、解答题

5． 设一质点受力作用，力的方向指向原点，大小与质点到xy 平面的距离成反比，

若质点沿直线

到

【答案】设比例系数为k ，则点到因为力的方向指向原点，故其方向余弦为

其中

力的三个分力为

6． 求曲面az=xy包含在圆柱

【答案】设曲面面积为S. 由于

所以

其中D 为

应用广义极坐标变换，

7． 过直线P :

【答案】设

作曲面切点坐标为

曲面在点即

其法向量为

于是有

第 4 页，共 26 页

求力所作的功.

平面的距离为z ，故

内那部分的面积.

的切平面，求此切平面的方程.

则

的法向量为

又过直线T 的平面方程为