2017年北京师范大学数学科学学院717数学教育综合考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1．
设
在
求证：至少存在一点【答案】用反证法,
如果函数因为
在
点
在使
得
这与
点.
2． 证明：若
【答案】由
的构造，知
则数列
且
所以，数列设
3． 证明
：
【答案】
由于所以上式综上可得
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上连续，对于区
间
中的每一个
点总存在
. 使
得
使得在
上没有零点，那么函数由题设条件知，
在
在内存
在在
上也没有零点，
，使
得
上至少有一个零
上连续，
所以. 根据闭区间连续函数的性质，必存在最小值，即存是最小值相矛盾，所以函数
收敛，求其极限。
单调递减且有下界，故其必收敛.
两边取极限，
得
解之，
得
所
以
，
4． 若为有界闭区域D 上的非负连续函数，且在D 上不恒为零，则
，由连续函数的局部保号性知：
，
有故
，
【答案】由题设存在使得对一
切
且连续，所
以
二、解答题
5． 求由方程
【答案】方法一 由隐函数求导，得
所确定的函数z=z(x ，y ) 的极值.
令得方程组
由此求出临界点x=0, y=l.再代入原方程，求出两个隐函数的值为
求二阶偏导数，由(1) 式和(2) 式，得
用x=0， y=l，代入上式，得
所以隐函数在(0，1) 点有极小值1. 用x=0， y=l
，
所以隐函数
代入(3) 式〜(5) 式，
得
在(0，1) 点有极大值3.
方法二 取目标函数f (x ，y , z ) =z，约束条件为原方程. 令
求导得
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容易看出经(8) 式解出
所以由(6) 式和(9) 式解出x=0, y=l.再由(9) 式解出
在(0，1，1) 点的海森矩阵为
它的顺序主子式依次为
所以隐函数
在(0，1) 点有极小值
1. 在(0，1，3) 点的海森矩阵为
它的顺序主子式依次为
所以隐函数
6． 求下列极限：
【答案】
在(0，1) 点有极大值3.
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