2016年新疆财经大学统计与信息学院高等数学(同等学力加试)复试笔试仿真模拟题
● 摘要
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2016年新疆财经大学统计与信息学院高等数学（同等学力加试）复试笔试仿真模拟题（一） . 2 2016年新疆财经大学统计与信息学院高等数学（同等学力加试）复试笔试仿真模拟题（二） . 6 2016年新疆财经大学统计与信息学院高等数学（同等学力加试）复试笔试仿真模拟题（三） 13 2016年新疆财经大学统计与信息学院高等数学（同等学力加试）复试笔试仿真模拟题（四） 21 2016年新疆财经大学统计与信息学院高等数学（同等学力加试）复试笔试仿真模拟题（五） 28
一、计算题
1． 求曲线
【答案】
t=0对应的点为（2, 1），故曲线在点（2, 1）处的切线方程为即法线方程为即
，
在t=0相应的点处的切线方程及法线方程。
2． 设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy 坐标面，其底部所占的闭区域
为
，小山的高度函数为
（l ）设向导数的最大值为
也就是说，要在D 的边界线
，问f （x ，y ）在该点沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方，试写出
的表达式.
上找出（1）中的g （x ，y ）达到最大值的点. 试确
。
（2）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚找一上山坡度最大的点作为攀岩的起点，定攀岩起点的位置.
【答案】（l ）由梯度与方向导数的关系知，
在点处沿梯度
方向的方向导数最大，方向导数的最大值为该梯度的模，所以
（2）欲在D 的边界上求g （x ，y ）达到最大值的点，只需
求
达到最大值的点. 因此，作拉格朗日函数
令
又由约束条件，有
，得
式（9-14）+（9-15）
解得若若
或
。
，再由式（9-16）得
。
由于
，故
或
可作为攀岩
的起点。
3． 下列各题中，函数f （x ）和g （x ）是否相同? 为什么
?
【答案】（l ）不同，因为定义域不同。 （2）不同，因为对应法则不同，
（3）相同，因为定义域、对应法则均相同。 （4）不同，因为定义域不同。
4． 求上半球面和xOz 面上的投影.
【答案】如图所示. 所求立体在xOy 面上的投影即为
得所围成的区域.
z 轴及曲线故所求立体在xOz 面上的投影为由x 轴，
，而由
与圆柱体
的公共部分在xOy 。
，则由式（9-14）得
，则由式（9-16）得
于是得到四个可能的极值点
图
5． 在什么条件下，（a , b ）内的连续函数f （x ）为一致连续？
【答案】若
均存在，设
易证F （x ）在
上连续，从而F （x ）在
上一致连续，也就有F （x ）在
内一
致连续，即f （x ）在（a , b ）内一致连续。
6． 要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小.
【答案】设水池的长为a ，宽为b ，高为c ，则水池的表面积为
约束条件作拉格郎日函数
。
。由
解得
是唯一可能的极值点，由问题本身可知A 一定有最小值，所以表面积
最小的水池的长和宽都应为
，高为。
二、证明题
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