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一、证明题

1． 设

为[0, 1]上的连续函数列，

满足

证明

【答案】

由

又

由有

注意到对于每一个

存

2． 设

在

是凸域，

且满足

证明：f (x ) 的海色矩阵【答案】由泰勒公式得：

根据条件

故有

上式消去并令这表明矩阵

3． 设

为开集

因为

即得

是半正定的. 由于任意性，所以海森矩阵在上是半正定的.

均为可微函数，证明

：在处可微，所以

又

由

在

处可微，知f

在所以

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且

存

在

有

对任意的

，

使

得则对任意的从

而

在[0，1]上一致收敛.

知，对任意

的

为[0, 1]上的连续函数列，故存

在，由开覆盖定理，存

在

为单调递增数列，现令

有

由此得到满足上述要求的覆盖[0, 1]的开区间

族

是半正定的.

为任一向量，当t 充分小时，点，

也是可微函数，而且

【答案】对

处连续，从

而

在附近有界，

即

使

这表明，

4． 证明:设在

⑴若

则

(2) 若

收敛，则

【答案】(1) 令

则

于是有

(

在

之间) ，令

有

(2) 由子

收敛，故对任给

有

则

令

在处可微，且

由的任意性，知

在上可微，且

上连续

，

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令

得

二、解答题

5． 研究函数

【答案】

处的各阶导数. 故

在

处连续

.

于是

一阶导数

于是

即二阶导数

因为

所以三阶导数不存在，并且当

时

都不存在.

6． 试作下列函数的图像：

（1）（4）

（2）,

（5）

（3）

【答案】各函数的图像如图1〜图5所示

.

图1 图2 图3

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