2017年上海交通大学理学院(数学系)844概率论与数理统计考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设
是来自密度函数为
的样本，
（1）求θ的最大似然估计它是否是相合估计？是否是无偏估计？ （2）求θ的矩估计
它是否是相合估计？是否是无偏估计？
【答案】（1）似然函数为
显然L （θ）在示性函数为1的条件下是θ的严増函数，因此θ的最大似然估计为又
的密度函数为
故
故不是θ的无偏估计，但是θ的渐近无偏估计. 由于
且
这说明是θ的相合估计. （2）由
于
，所以
这给
出
，从而有
这说明既是θ的无偏估计，也是相合估计.
2． 设某项维修时间T （单位：分钟）服从对数正态分布
（1）求p 分位数（2）若（3）若【答案】因为1）的p 分位数，则由
知
（1）因为所以（2）由
知：
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所以θ的矩估计
为
又
求该分布的中位数；
求完成95%维修任务的时间. 所以
记
为
的p 分位数，为N （0，
（3）因为所以当
时. 完成95%的维修任务的时间
为
3． —个质点从平面上某点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向随机游动，每次游动的距离为1，求经过2n 次游动后，质点回到出发点的概率.
【答案】因为每次都等可能地向上、下、左、右四个方向随机游动，所以经过2n 次游动后，样本空间中共有
设所求事件为样本点共有本点总数
它为
由此得所求概率为
可算得：
4． 为了比较用来做鞋子后跟的两种材料的质量，选取了15个男子，（他们的生活条件各不相同）每人穿着一双新鞋，其中一只是以材料A 做后跟，另一只以材料B 做后跟，其厚度均为10mm ，过了一个月再测量厚度，得到数据如下：
表
问是否可以认定以材料A 制成的后跟比材料B 的耐穿？ （1）设..
来自正态总体，结论是什么？
（2）采用符号秩和检验方法检验，结论是什么？
【答案】（1）这是成对数据的检验问题，在假定正态分布下，以记差值d 的均值，则需检验的假设为
由于
的P 值为
p 值小于0.05，在显著性水平0.05下可以认定以材料A 制成的后跟比材料B 的耐穿.
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个样本点.
事件
发生要求（1）上下游动次数相等；（2）左右游动次数相等，否则不
个，当k 从0到n 累加起来就得事件
所含样
可能回到出发点，若上、下游动各k 次，那么左、右游动只能各n-k 次，这样共游动2n 次，此种
此处15个差值为
故可算出检验统计量值为
于是检验
（2）由于两个负的差值的秩分别为5和6.5，故符号秩和检验统计量为，这是一个单边假设检验，
检验拒绝域为
号在使用中是完全等价的）
下，查表13可知
A 制成的后跟比材料B 的耐穿，二者结果一致。
5． 设总体总体从总体X 抽取样本
两样本独立，考虑如下假设检验问题
其中【答案】
以
都是已知常数，求检验统计量与拒绝域. 分别表示来自两个总体的样本均值
，
由所给条件，
有
在原假设成立时，
又
且二者独立，故
由此，在原假设成立时，检验统计量
若取显著性水平为a ，检验拒绝域为
6． 设X 和Y 是相互独立的随机变量, 且
求Z 的分布列.
【答案】因为X , Y 相互独立, 所以其联合密度函数为
由此得
7． 掷2n+l次硬币，求出现的正面数多于反面数的概率.
（正号和负
在给定
观测值落入拒绝域，拒绝原假设，可以认定以材料
从总体Y
抽取样本
分别为其样本方差，
记
由
此
如果定义随机变量Z 如下
【答案】设事件A 为“正面数多于反面数”，事件B 为“反面数多于正面数”，因为投掷2n+l
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