2017年上海交通大学安泰经济与管理学院840运筹学与概率统计之概率论与数理统计考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． [1]设随机变量X 仅在区间[a，b]上取值，试证：
[2]设随机变量X 取
值
【答案】[1]仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，因为
同理可证，
由上题的结论知
[2]仿题[1]有
2． 设是参数的无偏估计，且有
【答案】由方差的定义可知
，
因而
所以
3． 证明：
（1）（2）
【答案】（1）由
移项即得结论.
不是的无偏估计.
试证
不是的无偏估计.
由于
是参数的无偏估计，
即
的概率分别
是
证明
：
（2）对n 用数学归纳法，当n=2时，由（1）知结论成立. 设n-1时结论成立，即
则由（1）知
4． 设是来自二点分布b （1, p ）的一个样本，
（1）寻求的无偏估计； （2）寻求p （1-p ）的无偏估计； （3）证明1/p的无偏估计不存在. 【答案】（1）是
的一个直观估计，但不是的无偏估计，这是因为
由此可见（2）
是的无偏估计.
是p （1-P ）的直观估计，但不是p （1-P ）的无偏估计，这是因为
由此可见
（3）反证法，倘若
是p （1-p ）的一个无偏估计.
是1/p的无偏估计，则有
或者
上式是p 的n+1次方程，它最多有n+1个实根，而p 可在（0, 1）取无穷多个值，所以不论取什么形式都不能使上述方程在0＜p ＜l 上成立，这表明1/p的无偏估计不存在.
5． 设为来自指数分布的样本，为来自指数分布的样本，且两组样本独立，其中
（1）求假设
是未知的正参数.
的似然比检验；
（2）证明上述检验法的拒绝域仅依赖于比值（3）求统计量
在原假设成立下的分布.
【答案】样本的联合密度函数为
参数空间分别为
下参数的最大似然估计
为
则似然比统计量为
而
在
由微分法容易求出在
下参数的最大似然估计
为
由求导可知，函数为
或者
这就证明了（2）的结论.
为先减后増的单峰函数，故此似然比检验拒绝域可等价写
注意到指数分布、伽玛分布与卡方分布间的关系，可得
再注意到
诸
与
诸
6． 设事件A ，B ，C 的概率都是1/2，且P （ABC ）=+P（AC ）+P（BC ）-1/2.
【答案】因为
上式移项即得结论.
7． 设总体概率函数是p （x ; 0）, g （θ）的任一估计
令
们只需要考虑基于充分统计量的估计.
【答案】我们将均方误差作如下分解
注意到
这说明
于是
因而
是其样本，
，证明：
是θ的充分统计量，则对
这说明，在均方误差准则下，人
证明：2P （ABC ）=P（AB ）
间的独立性，在原假
设
成立下，有如下抽样分布
：